1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. ModelleringChevronRight
  5. Proporsjonal vekstChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Proporsjonal vekst

Hvordan vokser pengene du har i banken hvis de forrentes hele tiden, ikke bare én gang i året? Her trenger vi å løse en differensiallikning for å kunne svare på spørsmålet.

Modellering - Proporsjonal vekst

Tenk deg at du setter 10 000 kroner i banken. Pengene står urørt på en konto og du får en årlig rente på 8 % (som er latterlig høyt i 2018). Regning med vekstfaktor gir at etter t år i banken har beløpet vokst til

y(t)=10 000·1,08t

Bilde av forskjellige norske pengesedler
Vokser pengene dine proporsjonalt?

kroner. Hvert år vokser beløpet med 8 % av beløpet som stod på kontoen året før. Når rentene blir beregnet på denne måten, tar en ikke hensyn til at beløpet egentlig vokser gjennom hele året; det beregnes ikke renter av de rentene som opparbeides gjennom året.

Noen banker gjør det litt annerledes. De beregner renter hver måned som en tolvdel av årsrenten, og legger disse rentene til innestående beløp. Neste måned blir det en høyere kapital å beregne renter av, og rentene blir høyere for denne måneden enn for den forrige. Vi sier at bankene kapitaliserer rentene hver måned.

Enda mer gunstig for kunden er det hvis rentene kapitaliseres hver dag, og mest gunstig hvis rentene kapitaliseres hele tiden. Det siste betyr at endringen i det innestående beløpet hele tiden er proporsjonal med selve beløpet. En annen måte å si det på, er at pengebeløpet er proporsjonalt med sin egen derivert. Siden renta er 8 prosent, betyr det at endringen i beløpet, eller den derivert av beløpet, er 0,08 multiplisert med beløpet selv.

Dette gir oss en differensiallikning! Vi lar y være innestående kapital og får

y'=0,08·y

Vi ordner differensiallikningen og løser den

                    y'-0,08y = 0y'·e-0,08t-0,08y·e-0,08t=0·e-0,08t                  y·e-0,08t'=0                     y·e-0,08t=0 dt                     y·e-0,08t=C                               y=Ce-0,08t                               y=C·e0,08t

Bilde av et koordinatsystem

Når t=0 er beløpet i banken kr 10 000. Vi lar y angi beløpet i antall tusen kroner, og får

10 = C·e0,08·010=C·1 C=10

Ved kontinuerlig vekst vil innestående beløp til enhver tid være gitt ved

y=10·e0,08t

Vi kan sammenlikne grafisk denne vekstkurven med den vi har øverst på siden og se hva som lønner seg for banken eller kunden.

Etter 40 år er forskjellen på kr 28 000 til fordel for kontinuerlig vekst, og etter 50 år er forskjellen på kr 77 000.

Kanskje bør du undersøke på hvilken måte pengene forrentes hvis du tenker på å sette et pengebeløp i banken med sikte på å trygge pensjonen din om 50 år!

Vi kan regne ut hva slags årlig rente du måtte ha hatt hvis pengene skulle vokst like fort som når veksten er kontinuerlig og på 8 %.

y=10·e0,08t=10·e0,08t10·1,0833t

Dette betyr at vekstfaktoren er 1,0833, noe som gir en årlig rente på 8,33 prosent.

Oppsummering

Når veksten av en størrelse er proporsjonal med størrelsen selv, har vi differensiallikningen

y'=k·y

Generell løsning av differensiallikningen er

y=C·ekt

Læringsressurser

Modellering

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter