1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. Førsteordens differensiallikningerChevronRight
  5. Separable differensiallikningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Separable differensiallikninger

Hva menes med separable differensiallikninger?

Separable differensiallikninger

I differensiallikningen

y3·y'=x2+x

Bilde av to forskjellige type bønner i papirpose
Å separere betyr å skille fra hverandre

er alle leddene med y samlet på venstre side av likhetstegnet og alle leddene med x samlet på høyre side.

x-leddene og y-leddene er separert, skilt fra hverandre, av likhetstegnet.

Differensiallikninger som kan skrives på denne formen kalles for separable differensiallikninger.

En separabel differensiallikning er en differensiallikning som kan skrives på formen

gy·y'=hx

Fortsatt gjelder at y er en funksjon av x.

Vi husker at y er en funksjon av x og setter som vanlig y'=dydx. Vi kan da løse likningen ved å antiderivere med hensyn på x på begge sider.


gydydx=hxgydydx dx = hx dx    gy dy=hx dx

På venstresiden får vi nå et integral med y som variabel siden dx forsvinner her. Nå kan vi utføre integrasjonene på hver side og forsøke å finne løsninger til differensiallikningen.

I likningen

y3·y'=x2+x

skriver vi igjen y'=dydx og får

y3·dydx dx=x2+x dx

Nå kan vi utføre integrasjonene på hver side.

      y3 dy = x2+x dx13·12y2+C1=13x3+12x2+C216y2=13x3+12x2+C2-C1y2=2x3+3x2+6C2-C1

Vi setter C=6C2-C1 og får

y2 = 2x3+3x2+Cy=±2x3+3x2+C

Eksempel

På siden Generell løsning av lineære første ordens differensiallikninger har vi løst differensiallikningen

2y'=12+4y

ved å multiplisere likningen med faktoren e-2x. Vi kan vise at denne likningen også er en separabel differensiallikning.

      2y' = 12+4y        y'=2y+6        y'=2y+31y+3·y'=2 ,y-3

Husk at en separabel differensiallikning kan skrives på formen

g(y)·y'=h(x)

Likningen kan skrives på formen gy·y'=hx og er derfor en separabel differensiallikning.
Vi løser likningen ved å integrere på venstre og høyre side av likhetstegnet med hensyn på x .

1y+3·y' dx=2 dx

Vi setter som før y'=dydx og får

1y+3·dydx dx = 2 dx      1y+3 dy=2 dx          lny+3=2x+C1

Her må vi regne videre for å få likningen på formen "y=".

lny+3 = 2x+C1elny+3=e2x+C1y+3=e2x·eC1y+3=±eC1·e2xy=C·e2x-3      C=±eC1

Vi får samme løsning (heldigvis) som vi fikk med den andre metoden.

Læringsressurser

Førsteordens differensiallikninger