1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. Førsteordens differensiallikningerChevronRight
  5. Generell løsning av lineære første ordens differensiallikningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Generell løsning av lineære første ordens differensiallikninger

Generell løsning av lineære første ordens differensiallikninger betyr at vi multipliserer likningene med en faktor som gjør at det blir lettere å integrere.

Generell løsning av første ordens lineære differensiallikninger 1

En lineær differensiallikning av første orden kan skrives på formen

y'+p(x)·y=q(x)

Differensiallikningen 2y'=12+4y er en slik likning og vi skal bruke denne til å vise hvordan vi generelt løser lineære første ordens differensiallikninger.

Vi lar her p(x) og q(x) være konstante tall for å gjøre fremstillingen så enkel som mulig, men fremgangsmåten er den samme om p(x) og q(x) er mer generelle funksjoner.

Generell løsning av første ordens lineære differensiallikninger 2

Eksempel 1

Et eksempel der p(x) og q(x) er konstante tall.

Gitt differensiallikningen

2y'=12+4y

Vi starter med å ordne likningen slik at vi får den på formen y'+p(x)·y=q(x).

Vi får

y'-2y=6

Vi gjør nå et smart grep. Vi multipliserer alle ledd med konstanten e opphøyd i integralet til faktoren foran y, altså

epx dx

Faktoren foran y, p(x)=-2.

Siden

-2 dx=-2x+C

multipliserer vi alle ledd med e-2x.

y'·e-2x-2y·e-2x=6·e-2x

Ser du at venstresiden i likningen nå blir lik y·e-2x'?

Vi kan vise at dette er riktig ved derivasjon hvor vi bruker produktregelen og kjerneregelen

y·e-2x' = y'·e-2x+y·e-2x'=y'·e-2x+y·e-2x·-2x'=y'·e-2x+y·e-2x·-2=y'·e-2x-2y·e-2x

Skjønner du nå hvorfor det var lurt å multiplisere med konstanten eopphøyd i integralet til faktoren foran y?

Nå kan vi løse likningen ved integrasjon

y'·e-2x-2y·e-2x = 6·e-2x           y·e-2x'=6·e-2x               y·e-2x=6·e-2x dx               =6-2·e-2x+C               =-3·e-2x+C                      y=-3+Ce-2x                      =C·e2x-3

Vi kan kontrollere at denne løsningen stemmer for alle verdier av x ved å sette løsningen inn i den opprinnelige differensiallikningen 2y'=12+4y.

Venstre side

2y'=2Ce2x-3'=2·2Ce2x=4Ce2x

Høyre side

12+4y=12+4Ce2x-3=12+4Ce2x-12=4Ce2x

Vi ser dermed at den generelle løsningen y=Ce2x-3 er en løsning av differensiallikningen for enhver verdi av C.

Generell løsning av første ordens lineære differensiallikninger 3

Eksempel 2

Et eksempel hvor q(x) ikke er en konstant.

Vi skal løse differensiallikningen y'+2y-6x=0.

Vi ordner først likningen slik at vi får den på formen y'+p(x)·y=q(x)

y'+2y=6x

Faktoren foran y, p(x)=2.

Husker du det smarte grepet fra det første eksempelet?

Siden 2 dx=2x+C multipliserer vi alle ledd med e2x og får

          y'+2y = 6xy'·e2x+2y·e2x=6x·e2x         y·e2x'=6x·e2x            y·e2x=6x·e2x dx

Delvis integrasjon


u'·v=u·v-u·v'u'=e2xu=12e2xv=6xv'=6

Vi bruker nå delvis integrasjon for å regne ut integralet på høyre side i likningen

 6xv·e2xu' dx = 6xv·12e2xu- 6v'·12e2xu dx                =3x·e2x-32e2x+C

Vi fortsetter på differensiallikningen og finner den generelle løsningen

y·e2x = 6x·e2x dxy·e2x=3x·e2x-32e2x+C     y=3x-32+Ce2x     y=3x-32+Ce-2x

Generell løsning av første ordens lineære differensiallikninger 4

Eksempel 3

Eksempel hvor p(x) ikke er en konstant.

Gitt differensiallikningen

6x-2xy-y'=0

Vi ordner den først.

6x-2xy-y' = 0      y'+2xy=6x

Faktoren foran y, p(x)=2x.

Husk at du alltid må starte med å ordne likningen slik at du får den på formen

y'+p(x)·y=q(x)

Siden 2x dx=x2+C multipliserer vi alle ledd med ex2 og får

y'·ex2+2x·y·ex2 = 6x·ex2            y·ex2'=6x·ex2               y·ex2=6x·ex2 dx

Her kan vi bruke integrasjon med variabelskifte for å integrere høyresiden.

y·ex2 = 6x·ex2 dxy·ex2=32x·ex2 dx

Vi setter 3 utenfor integralet. Da blir det enklest å gjennomføre variabelskiftet.

u = x2dudx=2xdx=du2x

Vi fortsetter med løsningen.

y·ex2 = 32x·ex2 dx=32x·eu·du2x=3eu du=3·eu+C=3·ex2+C     y=3·ex2ex2+Cex2    =3+C·e-x2

Læringsressurser

Førsteordens differensiallikninger