Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. DifferensiallikningerChevronRight
  4. Førsteordens differensiallikningerChevronRight
  5. RetningsdiagrammerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Retningsdiagrammer

Kan vi løse differensiallikninger grafisk? Hva er et retningsdiagram?

Retningsdiagram

Noen differensiallikninger kan være vanskelige å løse. Det er da mulig å finne en grafisk løsning ved å skissere noen integralkurver.

Dette kan vi gjøre ved å tegne såkalte retningsdiagrammer. Vi bruker da at den deriverte er lik stigningstallet til tangenten til kurven i et punkt og i utvalgte punkter i koordinatsystemet tegner vi et lite linjestykke som viser retningen på tangenten til kurven i punktet.

I differensiallikningen y'=2x er stigningstallet til tangenten lik -4 i alle punkter med x-koordinat lik -2. Vi tegner et lite linjestykke med stigningstall -4 i utvalgte punkter med x-koordinat lik -2. I utvalgte punkter der x=3 tegner vi linjestykker med stigningstall 6 osv.

Mengden av alle disse små linjestykkene som viser retningen til integralkurvene gjennom punktene kalles for et retningsdiagram for differensiallikningen. Et retningsdiagram kan lages «for hånd», men i GeoGebra kan det lages med kommandoen

Retningsdiagram(f(x, y))

hvor f(x, y)=y'. I vårt eksempel blir kommandoen "Retningsdiagram(2x)". I vårt eksempel er den deriverte bare en funksjon av x. Derfor får vi her samme stigningstall for samme x-koordinat.

Det er nå mulig «for hånd» å skissere en integralkurve ved å starte i et punkt og følge retningen til kurven som retningsdiagrammet viser. Dette er ikke så lett, så vi bruker heller GeoGebra.

Integralkurven som går gjennom punktet (2, 2) får vi ved kommandoen

LøsODE(2x, (2, 2))

og gjennom (1, 2) med kommandoen LøsODE(2x, (1, 2)).

Vi kan da tolke grafene vi får som at y=x2+C er løsningen på differensiallikningen.

Bilde av to retningsdiagrammer og to tenkebobler

Læringsressurser

Førsteordens differensiallikninger