1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Matematiske modellerChevronRight
  5. Eksponentialfunksjon som modellChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Eksponentialfunksjon som modell

Når en størrelse har samme prosentvise endring over flere perioder av samme lengde, for eksempel over flere år, har vi eksponentiell vekst.

Eksponentialfunksjonen som modell
Bilde av bruktbilder

Bilkjøp

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilens verdi har avtatt med 10 % hvert år siden den var ny. Vi regner med at verdien vil fortsette å avta med 10 % per år de neste årene.

Bilens verdi V(x), x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved modellen

V(x)=200 000·0,90x

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen V.

Av grafen kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til
100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså bilens pris som ny, var nærmere
305 000 kroner.

Bilde av en graf

Funksjonen V ovenfor er en eksponentialfunksjon.

Eksponentialfunksjoner kan skrives på formen

f(x)=a·bx der a og b er konstante tall.

Legg merke til at x her er eksponent i potensen.

I algebrakapittelet så vi at vi alltid kan finne matematiske modeller uttrykt ved eksponentialfunksjoner når størrelser avtar eller øker med en fast prosent.

For å finne en eksponentiell modell ved regresjon må vi velge «Eksponentiell» som regresjonsmodell i GeoGebra.

Solsikker. Foto.
Solsikker i blomst. Toscana, Italia
Vekst hos solsikke

Siv ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i åtte uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor.

Etter x uker
1 2 3 4 5 6 7 8
Høyde i cm
16
20
27
40
56 68 107 140
Bilde av et koordinatsystem

Vi markerer datamaterialet fra tabellen som punkter i et koordinatsystem.

For å finne en modell som kan brukes for å beskrive solsikkens vekst, ser det ut som vi må finne en funksjon som vokser raskere og raskere etter som x-verdiene øker.

Her vil det derfor være naturlig å prøve med eksponentiell regresjon.

Eksponentiell regresjon i GeoGebra gir

f(x)=10,94·1,38x

Graf

Vi ser at kurven treffer bra med de observerte verdiene.

Etter modellen var solsikken ca. 10,9 cm da Siv begynte å måle, og den har vokst med
ca. 38 % hver uke.

Det vil være naturlig at veksten til solsikken vil avta og etter hvert stoppe helt opp.

Det kan derfor være at en logistisk modell her vil være bedre. Logistiske modeller omtales på siden Populasjonsvekst. Logistisk vekst under hovedemnet differensiallikninger.

Læringsressurser

Matematiske modeller