1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Anvendelser av bestemte integralerChevronRight
  5. Samlet mengdeChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Samlet mengde

Vi kan bruke bestemte integraler til å beregne samlet mengde.

Samlet mengde

Eksempel

Erlend ble ferdig med utdannelsen sin i år 2000 og ble tilbudt jobb. Lønnsbetingelsene var å starte med en årlig inntekt på 270 000 kroner, for deretter å stige i lønn med 7 % per år.

Bilde av penger
Hva vil den samlede inntekten til Erlend være de neste 20 årene?

Hva vil den samlede inntekten til Erlend være de neste 20 årene?

Løsning

Lønnen etter x år vil være gitt ved funksjonen

Lx=270 000·1,07x

Hvis lønnen justeres én gang per år, vil samlet lønn for 20 år være

Samlet lønn = 270 000+ 270 000·1,07+ 270 000·1,072+ .... +270 000·1,0719

Dette er en geometrisk rekke (se siden "Geometriske rekker") med 20 ledd der det første leddet a1=270 000 og k=1,07. Samlet lønn er summen av rekka. Den kan vi regne ut med formelen for summen av en geometrisk rekke og CAS i GeoGebra.

Samlet lønn=a1kn-1k-1=270 000·1,0720-11,07-1=11 068 783

CAS: 270000·1.0720-11.07-1111068782.93

Nå ser vi på dette grafisk og multipliserer alle leddene i rekka med 1.

Samlet lønn = 270 000·1+ 270 000·1,07·1+ 270 000·1,072·1+ .... +270 000·1,0719·1=f0·1+f1·1+f2·1+ .... +f19·1(=11 068 783)

Er du enig i at samlet lønn er representert med summen av arealene til rektanglene nedenfor?

Bilde av et koordinatsystem

Til å regne ut den samlede lønnen kan vi også bruke kommandoen SumUnder() i GeoGebra.

L(x):=270000·1.07x2Lx:=270000107100x

SumUnder(L,0,20,20)311068783.09

Hvis lønnen justeres hver måned, kan vi dele hvert rektangel i 12 mindre rektangler, og de små hvite feltene mellom kurven og rektanglene blir veldig små. Om vi tenker oss at lønnen blir justert i ett kjør, vil samlet lønn blir lik arealet under grafen, og i dette tilfellet vil derfor det bestemte integralet gi en helt riktig verdi av samlet lønn.

Integral(L,0,20)411451822.09

Oppsummering

La funksjonen f(t) beskrive en mengde per tidsenhet. Vi finner en tilnærmet verdi for samlet mengde, S, i tidsrommet fra t=a til t=b ved å regne ut det bestemte integralet

S=abf(t) dt

Læringsressurser

Anvendelser av bestemte integraler