1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Anvendelser av bestemte integralerChevronRight
  5. Volum av omdreiningslegemerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Volum av omdreiningslegemer

Vi kan bruke bestemte integraler til å finne volumet av omdreiningslegemer.

Volum av omdreiningslegeme

Hvis vi dreier grafen til en funksjon 360° om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme. Formen på omdreiningslegemet avhenger av formen på grafen. Hvis grafen er en rett linje, blir omdreiningslegemet en kjegle eller en avkortet kjegle. Se figurene nedenfor.

Bilde av to grafer med omdreiningslegeme

Hvis vi dreier en halvsirkel 360° om diameteren, får vi en kule.

Hva får vi dersom vi dreier en linje som er parallell med x-aksen, 360° om x-aksen?

La f(x) være en vilkårlig funksjon som dreies 360° om x-aksen. Se figur.

Bilde av en graf

Vi vil finne volumet av omdreiningslegemet som framkommer mellom x1 og x2.

Vi ser at radien til en snittsirkel er lik funksjonsverdien for den aktuelle x-verdien.

r=fx

Arealet av en snittsirkel blir

Ax=π·r2=π·fx2

Volumet av omdreiningslegemet kan sees på som en sum av volumene av mange sylinderforma skiver med tykkelse x (se også siden Volum), og det totale volumet blir et integral over arealfunksjonen.

Vi får en generell formel for volumet av omdreiningslegemer

V=x2x1Ax dx=x2x1π·fx2 dx=πx2x1fx2 dx

Læringsressurser

Anvendelser av bestemte integraler

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter