1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Anvendelser av bestemte integralerChevronRight
  5. VolumChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Volum

Vi kan bruke bestemte integraler til for eksempel å regne ut volumet av en kule.

Volum av kule
Bilde av egg som deles i eggedeler

Tenk deg at du deler et egg med en eggdeler. Da får du parallelle skiver med samme tykkelse, men med ulik størrelse. Hver enkelt skive får tilnærmet form som en sylinder med veldig liten høyde.

Summen av volumene til alle skivene er lik volumet til egget.

Bilde av en figur som illustrerer volum av en skive

Av figuren har vi at Ax·x er en tilnærmingsverdi for volumet av én skive.

En tilnærmingsverdi for det samlede volumet kan vi finne ved å summere volumet av alle skivene. Når x blir veldig liten, nærmer denne summen seg volumet av egget - og samtidig et integral.

V=limx0x1x2 Ax·x=x1x2Ax dx

Volumet av en kule

Bilde av en kule

Vi kan bruke dette til å vise at volumet av en kule er gitt ved V=43πr3.

Til høyre har vi tegnet en kule med radius r.
Snittflaten i kulen er en sirkel. Radius i denne sirkelen kaller vi rx.

Arealet av snittsirkelen er da

Ax=πrx2

Vi bruker Pytagoras’ setning og finner rx uttrykt ved r og x.

rx2 = r2-x2rx=r2-x2

Bilde av ulike geometriske former
Husker du formlene for å regne ut volumet av de geometriske formene ovenfor? Hvilke av formlene kan vi se ved hjelp av integrasjon?

Arealet av snittflaten er dermed gitt ved

Ax = π·rx2=π·r2-x22=πr2-x2

Volumet blir

V = -rrπr2-x2 dx  =-rrπr2 dx--rrπx2 dx  =πr2-rr1 dx-π-rrx2 dx  =πr2·x-rr-π13x3-rr  =πr2·r--r-π·13r3--13r3  =πr3+πr3-πr33+πr33  =3πr3+3πr3-πr3-πr33  =4πr33

Læringsressurser

Anvendelser av bestemte integraler