1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Anvendelser av bestemte integralerChevronRight
  5. Arealet mellom graferChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Arealet mellom grafer

Vi kan også regne ut arealet mellom to grafer ved hjelp av integraler.

Areal mellom to funksjoner

Vi har tegnet grafene til de to funksjonene f og g gitt ved

Bilde av grafer

fx = -x2+12x+10gx=x2-12x+50  

Hvordan vil du finne arealet av området mellom grafene, som er markert grønt her?

Vi må først finne ut hvor grafene skjærer hverandre.

                 fx = gx  -x2+12x+10=x2-12x+50-2x2+24x-40=0                     x=-24±242-4·-2-402-2=-24±16-4                     x=2    x=10

Da vet vi at vi må integrere mellom 2 og 10 på en eller annen måte for å finne arealet. Dersom vi regner ut 210fx dx, får vi det arealet som er markert med blått til venstre på figuren nedenfor. Tilsvarende får vi arealet som er markert med rødt til høyre ved å regne ut 210gx dx.

Bilde av fire grafer i to koordinatsystem

Arealet av området mellom grafene er da

A = 210fx dx-210gx dx=210fx-gx dx  =210-x2+12x+10-x2-12x+50 dx  =210-2x2+24x-40 dx=-23x3+242x2-40x210=4003+1123=5123

Oppsummering

Lafx0 for xa, b.

Arealet avgrenset av x-aksen, grafen til f og linjene x=a og x=b er

A=abfx dx

La fx0 for xa, b.

Arealet avgrenset av x-aksen, grafen til f og linjene x=a og x=b er

A=-abfx dx

La fxgx for xa, b.

Arealet mellom grafene fra x=a og x=b er

A=abfx-gx dx

Legg merke til at hvis gx0, kan vi oppfatte x-aksen som f(x)=0. Vi bruker regelen for arealer mellom grafer og får

A = abfx-gx dxA=ab0-gx dxA=-abgx dx

Læringsressurser

Anvendelser av bestemte integraler

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter