1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Anvendelser av bestemte integralerChevronRight
  5. Areal mellom en graf og x-aksenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Areal mellom en graf og x-aksen

Bestemte integraler gjør det mulig å beregne arealer avgrenset av krumme kurver.

Areal over og under x-aksen

Vi har sett at hvis fx0 for xa, b, kan vi finne arealet avgrenset av grafen til f ,
x-aksen og linjene x=a og x=b ved å regne ut det bestemte integralet

abfx dx

Eksempel 1

Bilde av en graf

Vi har tegnet grafen til funksjonen f gitt ved

fx=x2+2

Arealet av området som er markert med blått er

A = 24fx dx  =24x2+2 dx=13x3+2x24=883-203=68322,7

Eksempel 2

Vi har tegnet grafen til funksjonen g gitt ved

g(x)=-x2-2

Bilde av en graf og en tenkeboble

Hvordan vil du gå fram for å finne arelaet av området som er markert med rødt?

Du prøvde kanskje å finne arealet ved å regne ut 24gx dx ? Vi prøver.

24gx dx = 24-x2-2 dx            =-13x3-2x24=-883+203=-683-22,7

Vi får et negativt svar. På siden Definisjon av bestemt integral definerte vi det bestemte integralet som limx0ab fxx. Siden g(x)<0 for x2, 4, blir alle leddene i summen negative, og vi får

limx024 gxx=24gx dx<0

Et areal er en positiv størrelse. Arealet er derfor det negative integralet av funksjonen når grafen ligger under x-aksen.

A = -24gx dx=-24-x2-2 dx  =--13x3-2x24=--883+203=68322,7

Eksempel 3

Funksjonen h er gitt ved

h(x)=-x2+10

Bilde av en tenkeboble og en graf

Hvordan vil du finne arealet av området som er markert med blå og rød farge her?

Siden det ene området ligger over x-aksen, og det andre området ligger under x -aksen, må vi regne ut arealet av hvert område hver for seg. Vi må først finne ut hvor grafen til h skjærer x-aksen.

Vi finner skjæringspunktene med x -aksen.

     h(x) = 0-x2+10=0          x=-10    x=10

Arealet blir

A = 110hx dx-105hx dx  =110-x2+10 dx-105-x2+10 dx  =-13x3+10x110--13x3+10x105  =2010-293-25-20103  =40103-1824,2

Hvis vi regner ut integralet fra 1 til 5 i én operasjon (prøv!), får vi

15hx dx=-43

Hva forteller det om arealene av de markerte områdene?

Læringsressurser

Anvendelser av bestemte integraler

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter