1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Bestemte integralerChevronRight
  5. Fundamentalsetningen i matematisk analyseChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Fundamentalsetningen i matematisk analyse

Det er en sammenheng mellom ubestemte og bestemte integraler.

Fundamentalsetningen

Vi ser på funksjonen f gitt ved

fx=14x2-x+4

På siden Definisjon av bestemt integral brukte vi GeoGebra og fant ut at arealet A under grafen til f i området x[3, 7] var 22,33. Dette definerte vi til å være det bestemte integralet fra 3 til 7 av funksjonen.

A=37(14x2-x+4) dx=22,33

Ha dette i bakhodet inntil videre.

Vi finner det ubestemte integralet til f.

fx dx = 14x2-x+4 dx             =14·13x3-12x2+4x+C             =x312-x22+4x+C=F(x)

Vi får en ny funksjon F av det ubestemte integralet. For å utforske den, setter vi grenseverdiene 7 og 3 fra arealberegningen nevnt ovenfor inn i funksjonen og trekker disse fra hverandre.

F(7)-F(3)=7312-722+4·7+C-3312-322+4·3+C = 73-3312-72-322+4·7-4·3=31612-402+16=793-123=67322,33

Dette er det samme resultatet som vi fikk da vi regnet ut det bestemte integralet tidligere. Legg også merke til at integrasjonskonstanten C forsvinner!

Det kan vises at denne sammenhengen gjelder generelt. Dette er et grunnleggende resultat i matematikken, kalles fundamentalsetningen i matematisk analyse og vi kan formulere resultatet slik:

Fundamentalsetningen i matematisk analyse

La f være en kontinuerlig funksjon på intervallet a, b.

La

F'x=fx  for alle  xa, b

Da er

abfx dx=Fxab=Fb-Fa

Legg merke til skrivemåten med hakeparenteser!

Vi kan altså regne ut arealet, A, av området avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene
x=3 og x=7, som vist nedenfor

A = 3714x2-x+4 dx  =x312-x22+4x37  =7312-722+4·7-3312-322+4·3  =73-3312-72-322+4·7-4·3  =31612-402+16  =793-123  =67322,33

Vi skal ikke bevise fundamentalsetningen, men vi kan illustrere den gjennom et eksempel.

Fundamentalsetningen - Eksempel

Eksempel

Bilde av et koordinatsystem

Funksjonen f er gitt ved f(x)=3x.
Vi skal finne arealet avgrenset av grafen til f og
x -aksen mellom x=0 og x=4.

Vi bruker formelen for arealet av en trekant og får

A=g·h2=4·3·42=24

Bruker vi en tilfeldig variabel x som grense i stedet for 4, får vi

A=x·3x2=3x22=32x2

Dette uttrykket er akkurat det samme som den antideriverte til 3x og

A=043x dx=32x204=32·42=24

Læringsressurser

Bestemte integraler

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter