1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Bestemte integralerChevronRight
  5. Definisjon av bestemt integralChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Definisjon av bestemt integral

Vi definerer et bestemt integral som grensen for en sum som nærmer seg arealet under grafen til en funksjon.

Bestemte integraler

Vi ser på funksjonen f gitt ved

fx=14x2-x+4

Nedenfor har vi tegnet grafen til f i et koordinatsystem. Hvordan vil du gå fram for å finne arealet av det området som er farget blått her? Kan du finne en tilnærmet verdi for arealet?

Grafen til funksjonen f av x er lik en fjerdedels x i andre minus x pluss  4 og arealet under grafen fra x er lik 3 til x er lik 7. Utklipp.

Det blå området er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=3 og x=7.

Bestemte integraler - Eksempel

Vi kan finne en tilnærmet verdi for arealet hvis vi deler området under grafen inn i rektangler som vist på figuren nedenfor.

I GeoGebra kan du legge inn funksjonen og få frem rektanglene med kommandoen «SumUnder(f, 3, 7, 4)». Tallene 3 og 7 er nedre og øvre grense langs x-aksen, og det siste tallet, 4, er antallet rektangler vi deler intervallet mellom 3 og 7 opp i.

Bilde av en graf og en tenkeboble

Kan du, ved å bruke opplysningene på figuren, raskt regne ut arealet av disse fire rektanglene?

Vi kaller summen av de fire rektanglene for A4. Vi får da

A4 = f3·1+f4·1+f5·1+f6·1=3,25+4+5,25+7=19,5

For å få en bedre tilnærming kan vi dele området i stadig flere rektangler. I GeoGebra kan du øke antall rektangler, dvs. at du øker det siste tallet i kommandoen «SumUnder()». I det interaktive GeoGebraarket nedenfor kan du endre antallet rektangler ved å dra i glideren. Hva skjer med arealet av alle rektanglene når antallet rektangler øker? Sammenlign med det virkelige arealet under grafen, som er regnet ut med kommandoen Integral, se siden Integraler med digitalt verktøy.

Vi ser av det interaktive GeoGebraarket over at vi kommer nærmere det virkelige arealet under grafen jo flere rektangler vi lager. Vi tenker oss at vi fortsetter å øke antall rektangler «i det uendelige». Bredden til rektanglene, som vi kaller x, vil gå mot null, og summen av arealene til rektanglene vil nærme seg arealet under kurven som grenseverdi.

Matematikere bruker den greske bokstaven Σ (stor sigma) som betegnelse for sum av flere ledd. For ikke å gjøre det unødig komplisert, forenkler vi det formelle matematiske språket og sier at 37fx·x skal betegne summen av arealene til rektanglene med bredde etter samme mønster som vist ovenfor.

Vi får da at arealet under grafen kan skrives som

A=limx0abfx·x

Det er dette uttrykket som defineres som det bestemte integralet av f(x) fra x=3 til x=7.

Det bestemte integralet fra a til b defineres som

abfx dx=limx0abfx·x

Geometrisk vil det bestemte integralet abfx dx representere arealet som er begrenset av x-aksen, linjene x=a og x=b og grafen til funksjonen f(x).

Bilde av en graf

Legg merke til skrivemåten for det bestemte integralet og spesielt likheten med skrivemåten for det ubestemte integralet. Dette kan du lese mer om på siden Fundamentalsetningen i matematisk analyse.

Læringsressurser

Bestemte integraler

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter