1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Antiderivasjon eller integrasjonChevronRight
  5. Integrasjon ved delbrøkoppspaltingChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Integrasjon ved delbrøkoppspalting

Integrasjon ved delbrøkoppspalting er en spesiell metode ved integrasjon som kan fungere hvis vi kan dele opp integranden i to ledd.

Antiderivert med delbrøkoppspalting

Vi har tidligere sett hvordan vi kan integrere brøkuttrykk der nevneren enten er en potensfunksjon eller en polynomfunksjon av første grad.

Nå skal vi se hvordan vi kan integrere brøkuttrykk der nevneren er en polynomfunksjon av høyere grad. Metoden forutsetter at vi kan skrive nevneren som et produkt av førstegradsuttrykk.

Vi viser metoden gjennom et eksempel.

Eksempel

Vi skal finne 1x2-4 dx.

Vi kan faktorisere nevneren til x-2x+2 og kan da skrive

1x2-4=Ax-2+Bx+2

Vi gjør altså det motsatte av å sette på felles brøkstrek - vi splitter opp en brøk i to brøker.

Det gjelder nå å finne koeffisientene A og B.

Vi trekker sammen høyre side og får

1x2-4 = Ax+2x-2x+2+Bx-2x+2x-2=Ax+2A+Bx-2Bx-2x+2=A+Bx+2A-2Bx-2x+2

For at uttrykkene skal være like, må tellerne være like.
Telleren i brøken på venstre side har ikke noe x-ledd. Koeffisienten foran x-leddet er 0.

Det må bety at A+B=0.

Telleren på venstre side har konstanten 1, dvs. at 2A-2B=1.

Vi har nå to likninger med to ukjente og finner

A+B=02A-2B=1A=-B2(-B)-2B=1A=-B-4B=1A=14B=-14         

Vi setter A og B inn i det opprinnelige integralet og får

1x2-4 dx = Ax-2+Bx+2 dx               =A1x-2 dx+B1x+2 dx               =141x-2 dx-141x+2 dx               =14lnx-2-14lnx+2+C               =14lnx-2x+2+C

Metoden forutsetter, som nevnt ovenfor, at nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk. Du la kanskje også merke til at en forutsetning for å finne verdier for A og B var at telleren må ha lavere grad enn nevneren.

Læringsressurser

Antiderivasjon eller integrasjon