1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Antiderivasjon eller integrasjonChevronRight
  5. Delvis integrasjon ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Delvis integrasjon

Delvis integrasjon er en metode som bygger på produktregelen for derivasjon. Vi kan bruke denne metoden til å regne ut noen integraler.

Antiderivert med delvis integrasjon

Metoden med delvis integrasjon bygger på produktregelen for derivasjon.

             u·v' = u'·v+u·v'u·v'dx=u'·v+u·v' dx          u·v=u'·v dx+u·v' dx u'·v dx=u·v-u·v' dx

Metoden kan fungere på integraler der integranden er et produkt - og dette produktet er lettere å integrere når den ene faktoren i produktet deriveres og den andre antideriveres. For oversiktens skyld har vi skrevet u istedet for u(x) og v istedet for v(x).

Regel

u'·v dx=u·v-u·v' dx

Antiderivert med delvis integrasjon - Eksempel

Eksempel

Vi skal finne 2x·lnx dx ved bruk av delvis integrasjon.

La 2x være u' som gir u=x2 og lnx være v som gir v'=1x.

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

2xu'·lnx vdx = x2u·lnxv-x2u·1v'x dx                =x2·lnx-x dx                =x2lnx-12x2+C

Du bør tenke deg om før du velger hva du skal sette som u' og v. Det kan ofte være både lurt og nødvendig å bytte rekkefølgen på uttrykkene i integranden.

Det gjelder å få et enklere uttrykk under integrasjonstegnet på høyre side. Virkemiddelet vi har, er at en av faktorene blir derivert i det nye integralet. Vi må altså finne ut hvilken av faktorene som derivert gir et enklere integrasjonsuttrykk.

Ovenfor så vi for eksempel at det var lurt å velge lnx som den faktoren som skal deriveres fordi lnx'=1x.

Det er nødvendig at du regner mange oppgaver slik at du etter hvert ser hvilke uttrykk som lar seg integrere med delvis integrasjon.

Læringsressurser

Antiderivasjon eller integrasjon