1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Antiderivasjon eller integrasjonChevronRight
  5. Integrasjon ved variabelskifteChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Integrasjon ved variabelskifte

For noen funksjoner må vi bruke spesielle metoder for å integrere. Én av disse er integrasjon med variabelskifte, eller substitusjon.

Antiderivert med variabelskifte

Når vi integrerer med variabelskifte, bruker vi kjerneregelen for derivasjon «baklengs». For å kunne bruke metoden benytter vi en ny skrivemåte for den deriverte.

Grafen til en funksjon med differensialene d x og d y. Illustrasjon.

Vi har tidligere definert den deriverte til en funksjon y(x) i et punkt A som stigningstallet til tangenten til grafen i punktet.

y'=limx0yx

Vi kaller nå x for differensialet dx. Med et differensial forstår vi en veldig liten størrelse, og da bruker vi skrivemåten med d i stedet for . Det tilsvarende differensialet, dy, av funksjonen, finner vi ved å bruke at den deriverte, y', er stigningstallet til tangenten (som er rød på bildet).

Vi får da at

y'=dydx

Vi kan snu på denne formelen og få at dy=y'dx. Tilsvarende hvis funksjonen har navnet u, så er u'=dudx og du=u'dx.

Vi oppfatter altså du og dx som små størrelser som vi kan regne med. Hvis u'=2, setter vi dudx=2. Vi kan da for eksempel løse denne likningen med hensyn på dx og få at dx=du2.

Integrasjon ved variabelskifte kan brukes der hvor integranden kan skrives som et produkt av to uttrykk der det ene uttrykket inneholder «en kjerne u», og det andre uttrykket er den deriverte til denne kjernen.

Antiderivert med variabelskifte - Eksempel 1

Eksempel 1

2x·sinx2+1 dx

Integranden er et produkt av to uttrykk, 2x og sinx2+1. Vi setter kjernen u=x2+1. Da er 2x lik den deriverte til kjernen.

Her må vi ha litt «teft» og se at den deriverte til x2+1 er 2x .

Vi deriverer kjernen og får

u = x2+1u'=dudx=2xdx=du2x

Vi erstatter vi x2+1 med u og dx med du2x og får

2x·sinx2+1 dx = 2x·sinudu2x=sinu du=-cosu+C=-cosx2+1+C

Det at den deriverte av x2+1 er 2x, gjør at variabelen x «forsvinner» i integranden slik at

integranden kun inneholder variabelen u. Dette er selve «hemmeligheten» med metoden.

Metoden kan beskrives slik

Integrasjon med variabelskifte

fu·u' dx=fu du  ,  der   du=u' dx

Antiderivert med variabelskifte - Eksempel 2

Eksempel 2

3x+6x2+4x+5 dx

Vi setter u=x2+4x+5 og finner

u' = dudx=2x+4dx=du2x+4

Vi får

3x+6x2+4x+5 dx = 322x+4x2+4x+5 dx=322x+4x2+4+5 dx=322x+4u·du2x+4=321u du

Her er ikke den deriverte til kjernen nøyaktig lik 3x+6, men den er av samme grad, og ved å sette faktoren 32 utenfor integralet blir telleren lik den deriverte til kjernen slik at variabelen x «forsvinner» i integranden.

Du skjønner sikkert at det er en klar fordel å ha gode ferdigheter i derivasjon for å se om metoden kan brukes.

Vi antideriverer og finner

321u du = 32u-12 du=32·1-12+1·u-12+1+C=32·2·u+C=3x2+4x+5+C

Eksempel 3

Vi kan bruke variabelskifte sammen med regelen om at 1x dx=lnx ,   x0 til å finne integralet 1ax+b dx der a og b er konstante tall.

Vi setter u=ax+b. Da er dudx=a, og vi får dx=dua.

Det gir

1ax+b dx = 1aaax+b dx=1aaudua=1a1u du=1alnu+C=1alnax+b+C

Integrasjonsregel

1ax+b dx=1alnax+b+C  ,    x0  a0

Læringsressurser

Antiderivasjon eller integrasjon