1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Antiderivasjon eller integrasjonChevronRight
  5. Integrasjon av trigonometriske funksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Når vi skal integrere trigonometriske funksjoner, bruker vi derivasjonsreglene baklengs.

Antideriverte av trigonometriske funksjoner

Fra siden Derivasjon av trigonometriske funksjoner kjenner du derivasjonsreglene

sinx'=cosxcosx'=-sinxtanx'=1cos2x=1+tan2x

Hvis vi antideriverer cosx , får vi sinx+C .

Hvis vi antideriverer -sinx, får vi cosx+C. Det betyr at den antideriverte til sinx blir -cosx+C.

Ved å derivere de trigonometriske funksjonene finner vi altså følgende regler for integrasjon:

sinx dx=-cosx+Ccosx dx=sinx+C1cos2xdx=tanx+C  evt.  1+tan2xdx=tanx+C

Eksempel

Når vi deriverer uttrykket sin2x, bruker vi kjerneregelen og får sinu'·u'=2cos2x. Vi ser av svaret at vi har fått faktoren 2 i tillegg til det opprinnelige uttrykket. Når vi antideriverer, må vi multiplisere uttrykket med faktoren 12 for å få det opprinnelige uttrykket.

2cos2x dx=2cos2x dx=12·2·sin2x+C=sin2x+C

Vi får da følgende integrasjonsregler for trigonometriske funksjoner der vinkelen er et lineært uttrykk:

sinkx+cdx=-1kcoskx+c+Ccoskx+cdx=1ksinkx+c+C1cos2kxdx=1ktankx+C 1+tan2kxdx=1ktankx+C

Læringsressurser

Antiderivasjon eller integrasjon