1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Antiderivasjon eller integrasjonChevronRight
  5. Regneregler for integrasjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Regneregler for integrasjon

Å kunne integrere funksjoner er like viktig som å kunne derivere funksjoner.

Regneregler for integrasjon

Det finnes integrasjonsregler tilsvarende derivasjonsreglene. Her følger integrasjonsreglene du må kunne.

Integrasjon av en konstant k

k dx=kx+C

Integrasjon av potensfunksjoner

xrdx=1r+1xr+1+C ,   r-1

Når r=-1, gjelder

x-1dx=1xdx=lnx+C ,   x>0

Integrasjon av eksponentialfunksjoner

exdx=ex+Cekxdx=1kekx+Caxdx=1lnaax+C ,   a>0

Generelle regler

fx+gxdx=fxdx+gxdxfx-gxdx=fxdx-gxdxk·fxdx=k·fxdx  ,    k er en konstant

Vi kan bevise alle regnereglene for integrasjon ved å derivere høyre side. Prøv!

Du la sikkert merke til at integrasjonsregelen 1xdx=lnx+C bare gjelder for positive x-verdier. Det kommer av at funksjonen lnx bare er definert for positive verdier av x.

I R1-emnet funksjoner beviste vi at lnx'=1x for positive x-verdier.

Vi repeterer beviset her.

Bevis

Fra definisjonen av den naturlige logaritmen har vi at ethvert positivt tall x kan skrives som e opphøyd i logaritmen til x.

x=elnx

Når to funksjoner er like, er den deriverte av hver av funksjonene også like. Vi deriverer venstre og høyre side hver for seg.

Venstre side: x'=1

Høyre side: elnx'=eu'·u'=eu·u'=elnx·lnx'=x·lnx'

Da har vi

x·lnx'=1      lnx'=1x

Men hva hvis  x, 0?

Bilde av en graf og en tenkeboble

Funksjonen lnx er definert for alle verdier av x forskjellig fra null, siden absoluttverdien av et negativt tall er lik det motsatte tallet som er positivt. Absoluttverdien av -2, -2, er for eksempel lik 2.

Til høyre ser du grafen til funksjonen f gitt ved f(x)=lnx.

Vi har tegnet tangenter til grafen for x=2 og for x=-2.

Stigningstallet til tangenten i et punkt er lik den deriverte i punktet.

Prøv selv!

Bruk GeoGebra. Tegn grafen, lag et punkt på grafen og tegn tangenten til grafen i punktet. Du kan dra punktet langs grafen og finne stigningstallet til de ulike tangentene.

Stigningstallet til tangenten når x=-2, er lik -0,5=1-2. Det betyr at f'(-2)=1-2.

Stigningstallet til tangenten når x=2, er lik 0,5=12. Det betyr at f'2=12.

Det kan vises at det alltid gjelder at lnx'=1x.

Definisjonen av et ubestemt integral gir da at 1xdx=lnx+C for alle verdier av x forskjellig fra null.

Integrasjonsregel

1xdx=lnx+C ,    x0

Læringsressurser

Antiderivasjon eller integrasjon