1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Antiderivasjon eller integrasjonChevronRight
  5. Ubestemte integralerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Ubestemte integraler

Derivasjon og integrasjon er motsatte regningsarter.

Ubestemt integral

Funksjonen Fx=x2 har funksjonen fx=2x som derivert. Den «motsatte» operasjonen går ut på å finne en funksjon som har 2x som derivert. Du ser at funksjonen Fx=x2 er en slik funksjon.

Men den deriverte til x2+3 er også lik 2x. Derfor er også x2+3 en antiderivert til 2x. Faktisk er enhver funksjon x2+C , hvor C er en konstant, en antiderivert til 2x.

Av historiske grunner er det mer vanlig å bruke integral i stedet for antiderivert.

Vi sier at x2+C er det ubestemte integralet til 2x fordi x2+C ikke er én bestemt funksjon, men en hel klasse av funksjoner som har 2x som derivert. Konstanten C kalles integrasjonskonstanten.

Som symbol for et ubestemt integral til f brukes fxdx og leses «det ubestemte integralet til f(x)». Symbolet (lang S) kalles for et integraltegn, og funksjonen f(x) som skal integreres, kalles for integranden. Symbolet dx tas med blant annet for å vise at de funksjonene F(x) vi kommer fram til, er funksjoner av variabelen x. Det er x som er integrasjonsvariabelen. Du skal også se at dette er en praktisk skrivemåte i forbindelse med integrasjonsmetoder.

Definisjon av ubestemt integral

f(x)dx=Fx+C  hvis  F'x=fx


Det ubestemte integralet av f(x) er lik F(x) pluss en konstant C. Symbolet (lang S) kalles et integraltegn. Funksjonen f(x) kalles integranden. Konstanten C kalles integrasjonskonstanten.

Vi sier at vi integrerer eller antideriverer f(x) når vi finner F(x). Symbolet dx viser at det er x som er integrasjonsvariabelen.

Eksempel

x2+3x+4dx=13x3+32x2+4x+C

fordi

13x3+32x2+4x+C'=13·3x2+32·2x+4+0=x2+3x+4

Læringsressurser

Antiderivasjon eller integrasjon