1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Sinusfunksjonen som modell for harmoniske svingningerChevronRight
  5. Harmoniske svingninger. Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvningChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Harmoniske svingninger. Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Vi vil nå studere en generell sinusfunksjon gitt ved f(x)=Asin(kx+φ)+d hvor A og k er positive størrelser.

Periode - Amplitude - Likevektslinje

Du kan lage aktuelle glidere i GeoGebra og undersøke hvordan grafen til funksjonen endrer seg når du endrer parameterne A, k, φ og d.

Nedenfor har vi tegnet grafen til f når A=2, k=0,7, φ=0 og  d=1 i et interaktivt GeoGebraark. Funksjonsuttrykket blir

fx=Asin(kx+φ)+d=2sin0,7x+1

Du kan endre de fire parametrene i det interaktive arket ved å dra i gliderne. Observer hvordan funksjonen endrer seg. Du kan få tilbake de opprinnelige verdiene for parametrene ved å trykke på reset-knappen øverst til høyre i arket.

Likevektslinje

Tidligere har vi sett at grafen til sinx svinger rundt x-aksen. Denne grafen svinger rundt linjen y=d. Konstanten d bestemmer den horisontale linjen grafen svinger rundt. Vi kaller denne linjen for likevektslinja.

Sinusverdiene svinger mellom -1 og 1. Da vil funksjonsverdiene svinge mellom 1+2=3 og 1-2=-1 slik gliderne er valgt i utgangspunktet i GeoGebraarket ovenfor.

Fra grafen leser vi at i funksjonsuttrykket er d=3.

Amplitude

Avstanden fra likevektslinjen til et topp- eller bunnpunkt på grafen kaller vi amplituden til funksjonen. Svingningene i funksjonsverdiene gir denne avstanden lik 2.

Fra grafen leser vi at amplituden er lik 2. Det vil si at i funksjonsuttrykket er A=2.

Periode

Den enkleste sinusfunksjonen sinx har en periode på 2π. Det er fordi at etter at vinkelen x har løpt fra 0 til 2π, altså én runde på enhetssirkelen, så begynner funksjonsverdiene å gjenta seg.

For funksjonen sinkx+φ vil funksjonsverdiene begynne å gjenta seg når kx=2π, det vil si når x=2πk.

Funksjonen Asinkx+φ+d har derfor periode x=2πk.

I funksjonsuttrykket fx=2sin0,7x+1 er k=0,7, og perioden er da

x=2πk=2π0,7=20π7

Fra grafen kan du finne perioden ved for eksempel å se på avstanden mellom to påfølgende toppunkt, eller ved å lese av langs likevektslinjen. Sett k=0,5 i GeoGebraarket over. Dersom de andre parametrene er som i utgangspunktet, vil grafen ha et toppunkt når x=π og når x=5π. Funksjonen har da periode x=5π-π=4π.

Ut i fra dette kan vi regne oss tilbake til konstanten k i funksjonsuttrykket ved å sette 2πk=4π. Ved å løse denne likningen får vi at k=2π4π=12.

Faseforskyvning

Ovenfor har vi tegnet grafen til f0x=Asinkx+0+d (grå stiplet linje). Det betyr at vi har satt fasetillegget φ=0. Alle sinusfunksjoner på denne formen skjærer y-aksen der likevektslinja skjærer y-aksen, og der f0 er voksende. Leddet Asinkx+0=0 når x=0, og når x-verdiene øker fra null, så øker også sinusverdiene og dermed funksjonsverdiene. Vi har at f00=d.

Tilsvarende skjæringspunkt med likevektslinjen for fx=Asinkx+φ+d er når kx+φ=0. Det vil si når x=-φk. Se den blå funksjonen ovenfor. Funksjonene f og f0 har ellers lik form, de har samme likevektslinje, amplitude og periode.

Det betyr at grafen til funksjonen f(x) er parallellforskjøvet en avstand x=-φk langs x-aksen (likevektslinjen) i forhold til grafen til f0x.

Vi sier at fx har en faseforskyvning i forhold til f0x som er lik -φk.
Faseforskyvningen er altså en x-verdi hvor f(x) skjærer likevektslinjen for voksende funksjonsverdier.

Du kan dra i glideren for φ i figuren over og observere hvordan faseforskyvningen (den grønne dobbeltpilen) endrer seg for funksjonen f i forhold til funksjonen f0.

Av uttrykket for faseforskyvning ser du dette:

Når φ er negativ, er faseforskyvningen positiv, og grafen er forskjøvet mot høyre.

Når φ er positiv, er faseforskyvningen negativ, og grafen er forskjøvet mot venstre.

Still inn gliderene på figuren over slik at φ=-π2 og k=0,5. Da er faseforskyvningen

x=--π2  12=π

Forskyvningen er mot høyre siden φ er negativ.

Fra grafen kan du lese av faseforskyvningen som vist på figuren. Grafen viser at faseforskyvningen er π. Da er -φ12=π som gir φ=-π2.

Oppsummering

En funksjon f gitt ved fx=Asinkx+φ+d, har

Likevekstlinje y = dAmplitude=APeriode x=2πk  Faseforskyvning x=-φk

Når φ er negativ, er faseforskyvningen positiv, og grafen er forskjøvet mot høyre.
Hvis φ er positiv, er faseforskyvningen negativ, og grafen er forskjøvet mot venstre.

Når du skal lage en skisse av en graf til en sinusfunksjon på grunnlag av funksjonsuttrykket, kan det være lurt å starte med å avsette likevektslinjen og deretter faseforskyvningen på likevektslinjen.

Læringsressurser

Sinusfunksjonen som modell for harmoniske svingninger