1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Sinusfunksjonen som modell for harmoniske svingningerChevronRight
  5. Modellere periodiske fenomenerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Modellere periodiske fenomener

I praktiske forsøk undersøker vi ofte hvordan ulike størrelser varierer. Vi ønsker å finne ut om det er et mønster i variasjonene.

Modellering

Vi kan for eksempel måle maksimumstemperaturen hver dag gjennom et år og prøve å finne en modell, en funksjon, som beskriver temperaturen som funksjon av hvilken dag i året det er. Når vi vil finne et funksjonsuttrykk kan vi markere sammenhørende verdier av de målte størrelsene i et koordinatsystem og trekke en kurve gjennom punktene.

Kurven vil i dette tilfelle mest sannsynlig likne på grafen til en sinusfunksjon. Vi har tidligere beskrevet hvordan vi kan finne funksjonsutrykket til en sinusfunksjon ut fra grafen til funksjonen.

Vi skal nå repetere og gå gjennom fremgangsmåten i detalj. En generell periodisk funksjon kan skrives som

fx=Asinkx+φ+d

Nedenfor har vi tegnet grafen til en sinusfunksjon f med blå farge i et interaktivt GeoGebraark. Du kan dra i gliderene for A, k, φ og d for å tilpasse den svarte grafen til funksjonen g slik at den sammenfaller med grafen til f.

Kan du finne et funksjonsuttryk for f?

Dersom du klarer å tilpasse den svarte grafen, kommer du fram til at

fx = Asinkx+φ+d=3sinπ6x-π3+2

Vi skal nå se hvordan vi kan finne det samme resultatet manuelt. Det gjør vi ved å lese av høyeste verdi, fmax, og laveste verdi, fmin, på grafen til f. Vi må også lese av perioden og faseforskyvningen. Ut i fra dette kan vi så finne de fire ukjente parametrene i funksjonen.

Graf av ukjent periodisk funksjon med topp- og bunnpunkt markert. Utklipp.

Du finner først likevektslinjen y=d ved å ta middelverdien av fmin og fmax. Vi leser av på grafen og får at

fmax = 5fmin=-1

Dette gir

d = fmin+fmax2=-1+52=2

Så leser du av perioden som avstanden langs likevektslinjen mellom to påfølgende skjæringspunkter mellom likevektslinjen og voksende graf.

Grafen til en ukjent periodisk funksjon der amplitude, faseforskyvning, periode og likevektslinje er markert. Illustrasjon.

Perioden til funksjonen er 12. Siden perioden er lik 2πk, får vi at 2πk=12, som gir

k=2π12=π6

Så finner du faseforskyvningen som avstanden fra likevektslinjens skjæringspunkt med y-aksen til likevektslinjens skjæringspunkt med voksende graf. Grafen viser at faseforskyvningen er lik 2. Det betyr at -φk=2, som gir φ=-2·k. Siden k=π6, får vi at

φ=-2·π6=-π3

Til slutt finner du amplituden ved å ta differansen mellom funksjonens største verdi og funksjonens laveste verdi og så dividere med to.

A=fmax-fmin2=5--12=3

Vi har nå funnet at

fx = Asinkx+φ+d=3sinπ6x-π3+2

Læringsressurser

Sinusfunksjonen som modell for harmoniske svingninger