1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Sinusfunksjonen som modell for harmoniske svingningerChevronRight
  5. Omforme asin(kx) + bcos(kx) til en ren sinusfunksjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Omforme asin(kx) + bcos(kx) til en ren sinusfunksjon

En sum av en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon med samme periode ser også ut som en sinusfunksjon. Da må det gå an å skrive summen som en enkelt sinusfunksjon også!

Omforme trigonometriske uttrykk av typen asinkx bcoskx

Tegn grafene til funksjonene f og g gitt ved

f(x) = sinx+cosxg(x)=2 sin(x+π4)

i samme koordinatsystem. Hva ser du?

Kan du bruke en av de trigonometriske sammenhengene nedenfor til å forklare dette?

Noen trigonometriske sammenhenger:

sin(u+v) = sinu·cosv+cosu·sinvsin(u-v)=sinu·cosv-cosu·sinvcos(u+v)=cosu·cosv-sinu·sinvcos(u-v)=cosu·cosv+sinu·sinv

Nedenfor har vi tegnet de to grafene. Vi ser at grafene er like. Hva betyr det?

Bilde av to grafer

Kan det bety at fx=gx? Hvordan kan vi undersøke om fx=gx? Fra rammen ovenfor har vi at

sinu+v=sinu·cosv+cosu·sinv.

Vi bruker dette og får

2sinx+π4 = 2sinx·cosπ4+cosx·sinπ4=212sinx+12cosx=sinx+cosx

Sinusomforming

Vi skal vise at et uttrykk på formen asinkx+bcoskx kan omformes til den rene sinusfunksjonen Asinkx+φ.

Setningen om sinus til summen av to vinkler gir

Asinkx+φ = Asinkx·cosφ+coskx·sinφ                =Acosφa·sinkx+Asinφb·coskx                =asinkx+bcoskx

Når vi altså setter Acosφ=a, og Asinφ=b, får vi at

a2+b2=Acosφ2+(Asinφ)2=A2(cos2φ+sin2φ)=A2·1=A

og

tanφ=sinφcosφ=bAaA=ba.

Ut fra koeffisientene a og b i asinkx+bcoskx kan vi altså finne A og φ. Dermed kan vi sette opp den rene sinusfunksjonen

asinkx+bcoskx=Asinkx+φ

Du må huske på at det fins to vinkler i første omløp som gir samme tangensverdi. Du må derfor passe på å velge den vinkelen som ligger i samme kvadrant som (a, b)=A(cosφ, sinφ).

Generelt

asinkx+bcoskx=Asinkx+φ

Her er

A=a2+b2 ogtanφ=ba  når  cosφ0.

NB!

Vi må passe på at vinkelen φ ligger i samme kvadrant som punktet (a, b).

Læringsressurser

Sinusfunksjonen som modell for harmoniske svingninger