1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Sinusfunksjonen som modell for harmoniske svingningerChevronRight
  5. Drøfting av funksjonen f(x)=asin(kx)+bcos(kx)+c uten derivasjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Drøfting av funksjonen f(x)=asin(kx)+bcos(kx)+c uten derivasjon

Siden alle funksjoner av typen f(x)=asin(kx)+bcos(kx) kan skrives som rene sinusfunksjoner, kan vi drøfte slike funksjoner uten derivasjon.

Fra enhetssirkelen vet vi at sinusfunksjonen gitt ved f(x)=sinx har sin største verdi 1 når x=π2+n·2π, og sin minste verdi 1 når x=3π2+n·2π . Vi kan finne disse verdiene ved å løse likningen sinx=1 evt. sinx=-1.

Eksempel

En funksjon f er gitt ved

fx=sinx+3cosx+1

  1. Finn den største og den minste verdien funksjonen f kan få.
  2. For hvilke verdier av x har f(x) har den største verdien?

Løsning

Fra siden Likningen asin(kx) + bcos(kx) \ har vi at

sinx+3cosx=2sinx+π3.

Det betyr at

sin(x)+3cos(x)+1=2sinx+π3+1

  1. Vi vet at den største verdien sinx+π3 kan få, er 1, og den minste verdien er 1.

    Den største verdien til f blir 2·1+1=3
    Den minste verdien til f blir 2·-1+1=-1
  2. Funksjonen f har størst verdi når sinx+π3=1. Vi løser denne likningen og finner

sinx+π3 = 1x+π3=π2+n·2πx=π6+n·2π

Funksjonen har altså sin største verdi 3 når x=π6+n·2π.

Vi går fram på samme måte når vi skal finne for hvilken verdi av x som f har sin minste verdi.

Du kan for eksempel også finne vendepunkter og stigningstall til vendetangenter ved å bruke denne metoden.

Læringsressurser

Sinusfunksjonen som modell for harmoniske svingninger