1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. FunksjonsdrøftingChevronRight
  5. Derivasjon av trigonometriske funksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Hvordan skal vi derivere sinx?

Den deriverte av en trigonometrisk funksjon

Sammenlikn grafene til (sinx)' og cosx .

Bilde av grafer
Nedenfor har vi tegnet grafene til cosx, sinx og -sinx.

Kan du ut fra grafene foreslå uttrykk for (cosx)' og (sinx)'?

Sammenlign grafene til (cosx)' og sinx.

Bilde av grafer

Kan du ut fra grafene tippe hva (sinx)' og (cosx)' er lik?

Det kan vises at (sinx)'=(cosx) forutsatt at vinkelen måles i radianer.

Ved å bruke denne formelen sammen med kjerneregelen og kvotientregelen kan vi utlede formlene for den deriverte til cosinus- og tangensfunksjonen.

Vis at 1cos2x=1+tan2x

(cosx)' = sinπ2-x'=cosπ2-x·(-1)=-sinx(tanx)'=sinxcosx'=(sinx)'·cosx-sinx·(cosx)'(cosx)2          =cosx·cosx-sinx·(-sinx)(cosx)2=(cosx)2+(sinx)2(cosx)2          =1cos2x

Følgende formler for derivasjon av trigonometriske uttrykk gjelder:

sinx' = cosxcosx'=-sinxtanx'=1cos2x=1+tan2x

Dersom vinklene er gitt ved kx, bruker vi kjerneregelen med u=kx og får

sinkx' = k·coskxcoskx'=-k·sinkxtankx'=k·1cos2kx=k·1+tan2kx

Vis at k·1cos2kx=k·(1+tan2kx)

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting