1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Trigonometriske likningerChevronRight
  5. Løsning av trigonometriske likningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Løsning av trigonometriske likninger

Når vi løser trigonometriske likninger, må vi passe godt på hvilket intervall løsningene skal være innenfor.

Trigonometriske likninger 1

Sinuslikninger

Vi skal finne løsningene til likningen

2sinx-1=0

Vi ordner først likningen slik at vi får sinx alene på venstre side.

2sinx-1 = 02sinx=1sinx=12

Det finnes to vinkler i første omløp som har sinusverdi 0,5. Det er 30° eller π6 målt i radianer, og 150°, som svarer til 5π6 i radianer.

Videre har for eksempel vinklene 30° og 390° sammenfallende vinkelbein. Det betyr at disse vinklene har like sinusverdier. Vi sier at sinus har en periode på 360° eller 2π. Vi finner også en vinkel i tredje omløp med sammenfallende vinkelbein, og slik fortsetter det i det uendelige.

Sinusverdi 0,5 i enhetssirkel. Illustrasjon.

Likningen sinx=12 har derfor uendelig mange løsninger gitt ved

x=30°+k·360°    x=(180°-30°)+k·360°k

med grader som vinkelmål, og

x=π6+k·2π    x=(π-π6)+k·2πk

med radianer som vinkelmål.

Hvis definisjonsmengden er begrenset til intervallet [0, 2π, er det bare k=0 som gir løsninger og løsningsmengden blir L=π6, 5π6

I CAS bruker vi listeparenteser og legger inn likningen sammen med intervallet vi søker løsninger i.

GeoGebra {2*sin(x)-1\

Forklar hvorfor løsningsmengden til likningen

2sinx-1=0,x[0, 4π

blir

L=π6, 5π6, 13π6, 17π6

Det er svært viktig at du legger merke til hvilket intervall du skal finne løsninger i. Det varierer fra oppgave til oppgave.

Løsningen på likningen 2sinx-1=0 når x blir

L=π6+k·2π, 5π6+k·2π,k

I CAS i GeoGebra får vi de samme løsningene.

GeoGebra 2*sin(x)-1\

Med grader som vinkelmål får vi

GeoGebra 2*sin(x)-1\

Husk at ikke alle trigonometriske likninger har løsninger. Sinus til en vinkel er alltid et tall lik eller større enn –1 og lik eller mindre enn 1.

For eksempel har likningen sinx=2 ingen løsning. Merk også at likningene sinx=1 og sinx=1 bare har én løsning i første omløp.

Trigonometriske likninger 2

Cosinuslikninger

Vi skal finne løsninger til likningen

4cos2x+2=0.

Vi ordner først likningen slik at vi får cos2x alene på venstre side.

4cos2x+2 = 04cos2x=-2cos2x=-12

Det finnes to vinkler i første omløp som har lik cosinusverdi.

Cosinusverdi -0,5 i enhetssirkel. Illustrasjon.

Vinklene i første omløp som har cosinusverdi lik 0,5, er 120°, eller 2π3 målt i radianer, og 120°+360°=240°, som svarer til 4π3 i radianer.

I tillegg har også cosinus, på samme måte som sinus, en periode på 360° eller 2π.

Likningen cos2x=-12 har derfor uendelig mange løsninger. Husk nå at det er vinkelen 2x, og ikke vinkelen x, som har cosinusverdi lik 0,5.

2x=120°+k·360°2x=240°+k·360°kx=60°+k·180°x=120°+k·180°L={60°+k·180°,120°+k·180°}               

Legg merke til nest siste linje i likningen. Begge leddene i likningene må divideres på 2, og her synder mange!

Hvis definisjonsmengden er begrenset til intervallet [0, 360°, er det k=0 og k=1 som gir løsninger, og løsningsmengden blir

L = {60°, 120°, 240°, 300°}

I CAS finner vi de generelle løsningene og løsningene i intervallet både i grader og radianer:

Løsning av fire trigonometriske likninger med CAS i GeoGebra. Skjermdump.
Løsning av fire trigonometriske likninger med CAS i GeoGebra

Legg merke til at -60°+180°·1=120°.

Trigonometriske likninger 3

Likningen a sinkx + b coskx = 0

Ved å utnytte at tanv=sinvcosv når cosv0, kan vi løse likninger av typen

acosv+bsinv=0.

Eksempel

Vi skal finne løsningene til likningen

2cos2x+2sin2x=0 når x[0,4π>.

Hvis cos2x=0, så er sin2x=1 eller sin2x=1, og cos2x=0 er derfor ikke en løsning av likningen. Vi kan derfor anta cos2x0 og dividere med cos2x på begge sider i likningen.


  2cos2x+2sin2x = 02cos2xcos2x+2sin2xcos2x=0cos2x  ,   cos2x0          1+tan2x=0                tan2x=-1

Sinus og cosinus i enhetssirkel. Illustrasjon.

Vi har tidligere sett at

tanu=sinucosu

Av figuren ser vi at

sinu=sin(u+180°)ogcosu=cos(u+180°)

Det gir

tanu=sinucosu=-sinu+180°-cosu+180°=sinu+180°cosu+180°=tanu+180°

Dette betyr at tangens har en periode på 180°. Vi ser videre av figuren at vinkler i 1. og 3. kvadrant har positive tangensverdier, og vinkler i 2. og 4. kvadrant har negative tangensverdier. I 2. og 4. kvadrant har sinus og cosinus til en vinkel forskjellige fortegn.

Tangens til -1 i enhetssirkel. Illustrasjon.

Figuren viser at vinkelen mellom 0° og 180° som har tangensverdi lik –1 , er 135° eller 34π. Vi får

2x  =  3π4+n·πx = 3π8+n·π2L=3π8, 7π8, 11π8, 15π8, 19π8, 23π8, 27π8, 31π8

Legg merke til at løsningsmetoden forutsetter at høyre side i den gitte likningen er lik null. Dersom det ikke er det, må vi bruke en annen metode.

To tips for å løse sammensatte trigonometriske likninger

1. Ved å utnytte at tanv=sinvcosv  når  cosv0, kan vi løse likninger av typen

acosv+bsinv=0

som vi nettopp har sett. Husk at dersom du dividerer med cosv, må du forutsette at cosv0. Du må derfor undersøke om likningen også har løsning når cosv=0.

1. Hvis høyresiden ikke er lik null, kan du prøve å bruke enhetsformelen
sin2v+cos2v=1 for å omforme likningen.

Eksempel

Vi skal finne løsningene til likningen

cos2x-3sin2x=-2  når  x[0, 2π

Her fjerner vi cosinusleddet ved å bruke enhetsformelen.

     cos2x-3sin2x = -21-sin2x-3sin2x=-2               -4sin2x=-3                     sin2x=34                       sinx=±34         sinx=-32      sinx=32            L=π3, 2π3, 4π3, 5π3

Læringsressurser

Trigonometriske likninger

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter