1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Trigonometriske sammenhengerChevronRight
  5. Sinus og cosinus til summer og differanser av vinklerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler

Formler for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler er nyttig i mange sammenhenger.

Vi har følgende sammenhenger for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler:

sinu+v=sinu·cosv+cosu·sinvsinu-v=sinu·cosv-cosu·sinvcosu+v=cosu·cosv-sinu·sinvcosu-v=cosu·cosv+sinu·sinvsin2u=2sinu·cosucos2u=cos2u-sin2u

Legg merke til "fortegnsbytte" i formelen for cosinus til en sum og en differanse.

Differanse av vinkler

Bevis for cosu-v=cosu·cosv+sinu·sinv

Bilde av enhetssirkel og koordinatsystem. Illustrasjon.

Figuren viser en enhetssirkel med vinklene u, v og u-v .

Punktet P har koordinater (cosu, sinu), og punktet Q har koordinater (cosv, sinv).

Vi har at

OP = cosu, sinuOQ=cosv, sinv

Skalarproduktet på koordinatform gir

OP·OQ=cosu, sinu·cosv, sinv=cosu·cosv+sinu·sinv

Definisjonen av skalarproduktet gir følgende når uv er lik eller mindre enn 180°

OP·OQ = OP·OQ·cosu-v=1·1·cosu-v=cosu-v

Vi har da vist at når u-v180°, gjelder

cosu-v=cosu·cosv+sinu·sinv

Når uv er større enn 180°, er det vinkel z på figuren som er den minste vinkelen mellom vektorene.

Bilde av enhetssirkel og koordinatsystem. Illustrasjon.

Da er

OP·OQ=cosz

Men ut fra figuren er z+uv=360°.

Det betyr at

z=360°(uv)

Da er

cosz=cos360°-u-v=cos-u-v=cosu-v

Det vil si at også nå er OP·OQ=cosu-v, og setningen gjelder generelt.

Sum av vinkler
Sum og differanse av vinkler i enhetssirkel. Illustrasjon.

Bevis for cosu+v=cosu·cosv-sinu·sinv

Vi har tidligere sett at

cos-v = cosvsin-v=-sinv

Se figur.

Vi bruker formelen for cos(uv) som vi beviste ovenfor:

cosu-v=cosu·cosv+sinu·sinv

Vi setter u+v=u(v) og får

cosu+v = cosu--v=cosu·cos-v+sinu·sin-v=cosu·cosv+sinu·-sinv=cosu·cosv-sinu·sinv

I en av oppgavene skal du prøve å bevise formlene for sinus til sum og differanse mellom to vinkler. Du skal også prøve å bevise formlene for sin(2u) og cos(2u).
Sum og differanse av vinkler - Oppsummering

Læringsressurser

Trigonometriske sammenhenger

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter