1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Trigonometriske sammenhengerChevronRight
  5. Eksakte trigonometriske verdier ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Eksakte trigonometriske verdier

Vi skal nå se hvordan vi ved hjelp av to kjente rettvinklede trekanter kan finne eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til vinkler på 30°, 45° og 60°.

Eksakte verdier 1
Eksakte verdier 2

Vi starter med en rettvinklet trekant der hypotenusen er dobbelt så lang som den korteste kateten.

Vi setter den korteste kateten lik x. Hypotenusen blir da 2x .

Hvor store er hver av de spisse vinklene i denne trekanten? Forklar hvordan du kommer fram til svarene?

Definisjonen av sinus i en rettvinklet trekant gir

Bilde av en trekant

sinA=x2x=12

Hvilken vinkel i 1. kvadrant har sinusverdi lik 12?

Definisjonen av cosinus i en rettvinklet trekant gir


cosC=x2x=12

Hvilken vinkel i 1. kvadrant har cosinusverdi lik 12?

De spisse vinklene er 30° og 60°.

For å finne flere eksakte verdier, må vi regne ut den lengste kateten, AB. Den finner vi ved å bruke Pytagoras' læresetning.

AB2 = 2x2-x2AB =4x2-x2AB =3x

Definisjonen av sinus, cosinus og tangens gir oss da følgende eksakte verdier:

sin30 = sinπ6=x2x=×2x=12cos30=cosπ6=3x2x=3x2x=32tan30=tanπ6=x3x=x3x=13=33sin60=sinπ3=3x2x=3x2x=32cos60=cosπ3=x2x=x2x=12tan60=tanπ3=3xx=3xx=3

Vi kunne også ha brukt at tanv=sinvcosv når cosv0.

Bilde av en rettvinklet og likebent trekant. Illustrasjon.

Så tar vi utgangspunkt i en rettvinklet, likebeint trekant der de spisse vinklene er 45o.

Vi setter katetene lik hverandre og finner hypotenusen, AB.

AC2 = x2+x2AC =2x2AC =2x

Bilde av en enhetssirkel

Definisjonen av sinus, cosinus og tangens gir oss følgende eksakte verdier:

sin45 = sinπ4=x2x=x2x=12=22cos45=cosπ4=x2x=x2x=12=22tan45=tanπ4=xx=1

Ved hjelp av symmetri kan du nå finne de eksakte verdiene til mange av vinklene på enhetssirkelen. Husk at du finner verdiene til cosinus på x-aksen og verdiene til sinus på
y-aksen.

Her ser vi at sin30=sin150=0,5.

Kan du finne flere vinkler som har sinusverdi lik 0,5? Kan du finne vinkler som har sinusverdi lik -0,5?

Læringsressurser

Trigonometriske sammenhenger

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter