1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Trigonometriske definisjonerChevronRight
  5. Enhetssirkelen. Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens.ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Enhetssirkelen. Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens.

Vi kan også definere sinus, cosinus og tangens til vinkler som ikke ligger mellom 0° og 90°.

Enhetssirkelen

Vi starter med en vinkel v0°, 90°. Vi oppretter så motstående katet slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1.

Vi kaller katetene for a og b.

Ulike vinkler. Illustrasjon.

Vi får da

sinv = b1=bcosv=a1=a

Enhetssirkel

Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs den positive x-aksen. Deretter tegner vi en sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Vi kaller denne sirkelen for enhetssirkelen.

Vi lar P være skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til v.

Punktet P har koordinatene (a, b). Vi ser da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, og at sinus til v blir lik andrekoordinaten til P. Det betyr at P=(cosv, sinv)

Hvordan kan vi ut fra figuren ovenfor se at tanv=sinvcosv når cosv0?

Hvordan kan vi ut fra figuren ovenfor se at sinv2+cosv2=1?

Definisjon

Enhetssirkel. Illustrasjon.

Sinus, cosinus og tangens til en vinkel v

Vi plasserer vinkel v i et koordinatsystem sammen med en enhetssirkel slik figuren til høyre viser.

Punktet P er skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.

v er vinkelen mellom den positive x-aksen og linjestykket OP.

Vi har da

cosv=  førstekoordinaten til  P=a

sinv=  andrekoordinaten til  P=b

tanv=sinvcosv  når  cosv0

Med denne definisjonen definerer vi også sinus, cosinus og tangens til vinkler som ikke ligger mellom 0° og 90°.

Bilde av en enhetssirkel

For en vinkel mellom 90° og 180° ser vi at cosv=a blir negativ og sinv=b blir positiv.

Kan du se at sin90°=1, og at
sin180°=0?

Hva er cos90°?

Hva er cos180°?

Enhetssirkel. Illustrasjon.

For en vinkel mellom 180° og 270° ser vi at både cosv=a og sinv=b blir negative.

Kan du se at cos270°=0, og at
sin270°=1?

Hvordan blir fortegnene til sinus og cosinus til vinkler mellom 270° og 360°?

Læringsressurser

Trigonometriske definisjoner