1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. Praktiske problemer knyttet til rekkerChevronRight
  5. SparingChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sparing

Vi skal se hvordan bankinnskudd vokser.

Eksempel 1

Tusenlapper i Norges bank

Tenk deg at du setter inn 8 000 kroner på en konto i begynnelsen av hvert år. Det første beløpet setter du inn i 2011. Du får en fast årlig rente på 3 %.

1) Hvor mye er det på kontoen før du setter inn penger i 2015?

2) Hvor mange år tar før det står minst 60 000 kroner på kontoen?

Løsning

Vi skal nå se hvordan vi kan finne svar på disse problemstillingene ved å bruke en geometrisk rekke.

1) Du setter inn fire beløp i banken i denne perioden. Det første beløpet du setter inn, vil stå i banken i 4 år, det andre beløpet i 3 år, det tredje i 2 år og det siste i 1 år.

For å få oversikt er det helt nødvendig å tegne et skjema, gjerne for hånd på et kladdeark. Skjemaet viser hva de enkelte innskuddene har vokst til ved slutten av 2014. Du må altså se på de enkelte innskudd hver for seg, gjerne som innskudd i 4 forskjellige banker.

Legg merke til hvor avgjørende det er om beløpene settes inn/tas ut i begynnelsen eller i slutten av et år.

År/tidspunkt Innsatt beløp
Renteår Saldotidspunkt

2011 2012 2013 2014 1.1. 2015
1.1. 2011 8 000 x x x x 8000·1,034
1.1. 2012 8 000 x x x 8000·1,033
1.1. 2013 8 000 x x 8000·1,032
1.1. 2014 8 000
x 8000·1,031

Samlet beløp i banken i begynnelsen av 2015 er summen av de beløpene som hvert enkelt innskudd har vokst til. Du ser av skjemaet at disse beløpene danner en geometrisk rekke med kvotient k=1,03 og første ledd a1=8000·1,03. Antall ledd i rekken er fire fordi du har satt inn fire beløp.

Vi finner summen ved formelen S4=a1k4-1k-1.

Sum av banksparing i GeoGebra. Bilde.

I slutten av 2014 vil det stå 34 473 kroner på kontoen.

Legg merke til at vi nå ikke bruker sumkommandoen i GeoGebra, for nå bruker vi jo sumformelen for en geometrisk rekke.

2) Du velger å fortsette sparingen, og ønsker å vite hvor lang tid det tar før det står minst 60 000 kroner på kontoen.

Forutsetningene er som ovenfor, men nå vet vi ikke hvor mange ganger du må sette inn penger. Vi lar derfor antall ledd i rekken være ukjent. Siden vi kjenner summen av rekken, får vi en likning som kan løses med CAS i GeoGebra

Regne ut sparingsbeløp i Geogebra. Bilde.

Du må altså sette inn sju beløp. Kontobeløpet vil da passere 60 000 kroner i 2017.

Eksempel 2

Drømmehus
Et drømmehus?

Mads ønsker å spare til bolig. Han planlegger å opprette en BSU-konto (boligsparing for ungdom) i sin lokale bank, og sette inn 20 000 kroner på denne kontoen 1. januar hvert år i 10 år. Vi regner med en årlig rente på 5 %.

Vi ønsker å finne ut hvor mye det er på BSU-kontoen rett etter at Mads har satt inn det 10. beløpet.

Vi tar da for oss de enkelte innskuddene, og ser hva hvert beløp har vokst til rett etter at Mads har satt inn penger for 10. gang. Når det siste beløpet settes inn, har det første beløpet Mads setter inn, stått på kontoen i 9 år. Det neste i 8 år osv. Det første beløpet har altså vokst til 20 000·1,059, det neste til 20 000·1,058 osv. Det siste beløpet Mads setter inn, har ennå ikke forrentet seg. Vi kan illustrere dette med en tabell:

År/tidspunkt Innsatt beløp
Renteår Saldotidspunkt

1. år
2. år
3. år
... 9. år
1.januar det 10. året
Nå (1. januar)
20 000

x x x x x 20 000·1,059
1 år senere
20 000

x
x x x 20 000·1,058
2 år senere
20 000

x x x 20 000·1,057
3 år senere
20 000


x x 20 000·1,056

8 år senere
20 000
x 20 000·1,05
9 år senere
20 000

20 000

Samlet innskudd i banken ved begynnelsen av det 10. året, blir lik summen av de beløpene som hvert innskudd har vokst til. Du ser av skjemaet at disse beløpene danner en geometrisk rekke med kvotient k=1,05 og a1=20 000. Antall ledd i rekken er 10, fordi Mads skal sette inn 10 beløp.

Ved å bruke sumformelen for en geometrisk rekke, kan vi regne ut hvor mye som står på kontoen rett etter at det 10. beløpet er satt inn.

Regne ut sparingsbeløp i GeoGebra. Bilde.

Det vil stå 251 558 kroner rett etter at Mads har satt inn det 10. beløpet.

Det er svært viktig å lese denne type oppgaver nøye. Husk at n står for antall ledd i rekken.

Vi kunne også løst oppgaven ved å regne ut hvor mye som står på kontoen rett før det siste beløpet blir satt inn - og så lagt til det siste innskuddet på 20 000 kroner. Da ville vi fått 9 ledd i rekka vi skulle summere.

Merk også at dersom en spurte etter beløpet i slutten av det 10. året, ville det første leddet vært a1=20000·1,05, mens n fortsatt ville vært 10.

Læringsressurser

Praktiske problemer knyttet til rekker