1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. TallrekkerChevronRight
  5. Geometriske rekkerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Geometriske rekker

Når vi adderer leddene i en geometrisk tallfølge, får vi en geometrisk tallrekke.

I en geometrisk rekke er forholdet mellom et ledd og det foregående leddet konstant. Vi kaller dette forholdstallet for rekkens kvotient, k.

Et eksempel på en geometrisk rekke er

20+40+80+160+ ...

Hvert ledd i denne rekken er lik leddet foran multiplisert med 2. Vi har altså en geometrisk rekke med a1=20 og k=2

I avsnittet Geometriske tallfølger kom vi fram til at ledd nummer n i en geometrisk tallfølge er gitt ved

an=a1·kn-1

Denne formelen gjelder også for ledd nummer n i en geometrisk rekke. Det betyr at når vi kjenner an og k i en geometrisk rekke, kan vi finne alle leddene i rekken.

Eksempel

Vi skal bestemme kvotienten og det første leddet i en geometrisk rekke, der

a5=243 og a8=6 561.

Det er 8-5=3 plasser fra a5 til a8.

Det gir at

a8 = a5·k3k3=a8a5=6561243=27k=273=3

Vi kan da finne a1

a5=a1·k5-1      a1=a5k4=24334=24381=3

Den geometriske rekken blir da

3+9+27+81+243+729+2187+6561+...

Summen av en geometrisk rekke

Vi ønsker å finne en formel for summen av de n første leddene i en geometrisk rekke. Vi finner først summen av de 5 første leddene.

Vi har at

S5 = a1+a2+a3+a4+a5=a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4

Vi multipliserer begge sidene i likningen med k.


k·S5 = k·(a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4)=a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4+a1·k5

Vi finner så differansen mellom k·S5 og S5.

k·S5-S5 = a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4+a1·k5-(a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4)=a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4+a1·k5-a1-a1·k-a1·k2-a1·k3-a1·k4

Her opptrer de fleste leddene i par. Ledd med samme verdi, men motsatt fortegn og faller bort. Dette gir

k·S5-S5 = a1·k5-a1S5(k-1)=a1(k5-1)S5=a1k5-1k-1

Vi kan ikke ha en brøk med null i nevner. Derfor gjelder formelen bare når k1 . Dersom k=1 , blir alle leddene i rekken like. Summen av rekken blir da S5=5·a1.

Resonnementet ovenfor gjelder på samme måte om vi bytter ut antall ledd i rekken med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Vi får derfor:

Summen av de n første leddene i en geometrisk rekke er gitt ved formelen

Sn=a1kn-1k-1   når k1

Når k=1 blir Sn=n·a1.

Læringsressurser

Tallrekker

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter