1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. KuleflaterChevronRight
  5. Parameterfremstilling for kuleflateChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Parameterfremstilling for kuleflate

Vi vil finne en parameterfremstilling for en kule med sentrum i origo og gitt radius.

Parameterfremstilling for ei kuleflate
Bilde av kuleflate. Illustrasjon.

Gitt en kule med radius r plassert med sentrum i origo.

Vi lar P(x, y, z) være et vilkårlig punkt på kuleflaten.

Vi beskriver punktet P ved hjelp av to parametere.

Den første parameteren kaller vi for t, og vi lar den være en erstatning for x-koordinaten.

Parameteren vil løpe fra -r til r.

For hver verdi av t får vi en mengde punkter på kuleflaten som ligger på en sirkel i et plan som er parallelt med yz -planet.

Vi kaller radius i denne sirkelen for a .

Bilde av kuleoverflate

Vi innfører nå parameteren α og lar denne løpe fra 0° til 360° eller fra 0 til 2π.
Da vil P gjennomløpe den blå sirkelen på figuren.

Når t løper fra -r til r, og når α løper fra 0° til 360° for hver verdi av t, oppnår vi at P gjennomløper alle punkter på kuleflaten.

Ut fra figuren kan vi finne koordinatene til P uttrykt med a og parameterne t og α .

x=ty=acosαz=asinα

Kanskje du trenger litt trigonometrisk repetisjon for å se dette?

cosα=hosliggende katethypotenus sinα=motstående katethypotenuscosα=hosliggende katetasinα=motstående katetahosliggende katet=acosαmotstående katet=asinα

I tillegg ser vi at vi kan bruke Pytagoras’ setning.

Bilde av kuleflate

r2=a2+t2a2=r2-t2a=r2-t2

Vi får da

x=ty=acosα=r2-t2 cosαz=asinα=r2-t2 sinα

Vektorfunksjonen blir

OP=t, r2-t2 cosα, r2-t2 sinα

Parameterfremstillingen blir

Bilde av kuleoverflate

x=ty=r2-t2 cosαz=r2-t2 sinα

Eksempel

En kuleflate med radius lik 5 cm og sentrum i origo har vektorfunksjonen

OP=t, 52-t2 cosα, 52-t2 sinα

Vi kan flytte sentrum i kula til punktet (0, 0, 20) ved å endre vektorfunksjonen til

OP=t, 52-t2 cosα, 20+52-t2 sinα

Kommando i GeoGebra: «Kule[<Punkt>, <Radius>]»

Oppsummering

Generelt er en kuleflate med radius r og sentrum i x0, y0, z0 gitt ved vektorfunksjonen

OP=x0+t, y0+r2-t2 cosα, z0+r2-t2 sinα

En parameterfremstilling for kuleflaten er

x=x0+ty=y0+r2-t2 cosαz=z0+r2-t2 sinα

Bilde av kuler
Singapore River, 1. juledag 2010. 
Hvert år kastes ca. 20 000 små og store kuler med jule- og nyttårsønsker ut i elva.

Læringsressurser

Kuleflater

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter