1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. KuleflaterChevronRight
  5. Likningsfremstilling for en kuleflateChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Likningsfremstilling for en kuleflate

Vi vil finne en likning for en kule med gitt sentrum og radius.

Likningsfremstilling for en kuleflate
Bilde av kuleflate. Illustrasjon.

En kule har sentrum i P0 og radius r. Kuleflaten er samlingen av alle punkter P som har avstanden r fra P0.

Vi lar P(x, y, z) være et punkt på kuleflaten.
Da vet vi at P0P=r.

Dette gir

 P0P  = r x-x0, y-y0, z-z0=rx-x02+y-y02+z-z02=rx-x02+y-y02+z-z02=r2

Vi har likningen for kuleflaten.

Hvis origo er sentrum i kulen, blir likningen for kuleflaten

x2+y2+z2=r2

Når likningen for en kuleflate er gitt på formen ovenfor, er det lett å finne sentrum og radius i kulen.

Eksempel

Finn sentrum og radius til en kule når likningen for kuleflaten er gitt ved

(x-2)2+(y+4)2+(z-6)2=52

Vis fasit

Her finner vi koordinatene til sentrum og radien direkte ved å se på likningen.

Sentrum i kuleflaten må være (2, -4, 6), og radien er 5.

Vanligvis er ikke likningen til kuleflata skrevet på måten ovenfor, men slik som i eksempelet nedenfor. Hvordan finner vi da sentrum og radius?
Vi skal se på et eksempel.

Eksempel

Bilde av en kuleflate. Illustrasjon.

Likningen

x2+2x+y2-6y+z2=-1

beskriver en kuleflate. Finn sentrum og radius i denne kuleflata.

I GeoGebra kan vi skrive inn denne likningen og få kulen tegnet, se figuren.

Oppgaven vår blir å lage «fullstendige kvadrater» slik at vi får likningen på formen

x-x02+y-y02+z-z02=r2

Vi lager fullstendige kvadrater av leddene med x, leddene med y og leddene med z hver for seg. Da gjelder det å huske hvordan vi gjør det! Se siden Fullstendige kvadrater hvis du vil ha en repetisjon.

          x2+2x+y2-6y+z2 = -1x2+2x+12+y2-6y+32+z2=-1+12+32  x2+2x+1 + x+12y2-6y+9y-32+z2=-1+1+9         x+12+y-32+z2=32

Dette er altså likningen for en kuleflate med sentrum i -1, 3, 0 og med radius 3.

Læringsressurser

Kuleflater

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter