1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Plan i rommetChevronRight
  5. Formel for avstand fra punkt til planChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Formel for avstand fra punkt til plan

Med en formel for avstanden fra et punkt til et plan slipper vi unna en del regning.

Formel for avstand mellom punkt og plan i rommet

La Px1, y1, z1 være et punkt i rommet.

La β være et plan i rommet gitt ved

ax+by+cz+d=0.

Avstand mellom punkt og plan. Illustrasjon.

Da er avstanden fra P til β gitt ved

q=ax1+by1+cz1+da2+b2+c2

Bevis

La S(x, y, z) være det punktet i planet som er slik at SP står normalt på planet. Da er avstanden fra punktet til planet q=SP.

Siden S(x, y, z) ligger i planet, har vi at

ax+by+cz+d  =  0                 d = -ax+by+cz

Vi har også at n=[a, b, c] er normalvektor til planet.

Vi kan finne skalarproduktet av n og SP på to måter. Vi kan bruke definisjonen på skalarproduktet, eller vi kan regne med vektorkoordinater.

Hvis vi bruker definisjonen på skalarprodukt, får vi

SP·n=SP·n·cos0° eller 180°

Hvis vi regner med vektorkoordinater, får vi

                             SP·n = x1-x,y1-y,z1-z·a,b,c  SP·n·cos0° eller 180° = x1-x,y1-y,z1-z·a,b,cSP·n·1 eller -1 = a·x1-x+b·y1-y+z·z1-zq·a2+b2+c2·1 eller -1 = ax1+by1+cz1-ax+by+cz                                   q = ax1+by1+cz1+da2+b2+c2

Eksempel - Formel for avstand mellom punkt og plan

Eksempel

Vi bruker formelen og regner ut avstanden fra punktet A2, -8, 7 til planet β gitt ved

2x+3y-z-1=0

Vi får

q = ax1+by1+cz1+da2+b2+c2=2·2+3·-8+-1·7+-122+32+-12= 4-24-7-14+9+1=-2814=-28·1414·14=-28·1414=214

Læringsressurser

Plan i rommet