1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Plan i rommetChevronRight
  5. Avstanden fra et punkt til et planChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Avstanden fra et punkt til et plan

Avstanden mellom to objekter er alltid den korteste avstanden mellom objektene.

Avstand mellom punkt og plan

Hvordan finner vi den korteste avstanden fra et punkt til et plan? Jo, den korteste avstanden er den vi måler langs normalen fra punktet til planet.

Vi skal regne ut avstanden fra punktet A(2, -8, 7) til planet β gitt ved 2x+3y-z-1=0

Avstand mellom punkt og plan. Illustrasjon.

Vektoren nβ=[2, 3, -1] er en normalvektor til β. Da er den også en retningsvektor for en normal n som går gjennom A og står vinkelrett på β.

Da har vi både en retningsvektor til og et punkt på normalen n. En parameterframstilling for normalen er da

x=2+2t  y=-8+3t  z=7-t

For å finne skjæringspunktet S mellom n og β, gjør vi som på siden Skjæring mellom linje og plan: Vi setter parameteruttrykkene for n inn i likningen for β.

                        2x+3y-z-1 = 022+2t+3-8+3t-7-t-1=0           4+4t-24+9t-7+t-1=014t-28=0                                t=2

Vi setter t=2 i parameterframstillingen og får

x=2+2·2=6      y=-8+3·2=-2      z=7-2=5

Skjæringspunktet S har koordinatene 6,-2,5.

SA = 2-6, -8--2 ,7-5   =-4, -6, 2

Avstanden fra A til planet er

SA  = -42+-62+22     =56=214

Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen "Avstand(Punkt, Objekt)".

Avstand mellom punkt og plan i CAS. Utklipp.

Læringsressurser

Plan i rommet