1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Plan i rommetChevronRight
  5. Vinkelen mellom linje og plan ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vinkelen mellom linje og plan

Vi må passe litt på når vi skal finne vinkelen mellom et plan og en linje.

Vinkel mellom plan og linje

Vinkelen mellom en linje i rommet, l, og en linje m i et plan er avhengig av hvilken linje i planet du velger.

Bilde av vinkel mellom linje og plan

Tegn figuren i GeoGebra. Du kan flytte på punktet F i planet og se at vinkelen mellom linjene l og m endrer verdi.

Den linjen i planet som danner den minste vinkelen med l, er den linjen som sammen med l danner et normalplan til planet α.

Vi definerer vinkelen μ, mellom en linje l og
et plan
α, som vinkelen mellom linjen l og den
linjen i planet
som sammen med l danner et
normalplan til planet α.

Bilde av vinkel mellom linje og plan

La nå m være den linjen i planet som danner den minste vinkelen med linjen l.

La n være en normalvektor til α og v en
retningsvektor til l.

n er også normalvektor til m, og linjene l og m, sammen med normalvektoren n, vil danne et plan som figuren viser.

Kan du forklare hvorfor dette er riktig?

Vi kan regne ut vinkelen φ (gresk «phi») mellom n og v ved å bruke skalarproduktet. Dersom denne vinkelen er mindre enn 90°, må vi ha at μ+φ=90°.

Hva gjør vi dersom vi får at vinkelen φ>90°? Det betyr at vektorene n og v stikker ut på hver sin side av planet. Da vil vi ha at μ+90°=φ. Vi må derfor skille mellom to retninger på normalvektoren som figurene viser.

Oppsummert får vi at vi regner først ut vinkelen φ (gresk «phi») mellom n og v. Så finner vi vinkelen μ ut fra følgende regler:

φ>90°  μ=φ-90°φ90°μ=90°-φ

Læringsressurser

Plan i rommet