1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Plan i rommetChevronRight
  5. Plan gitt ved tre punkterChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Plan gitt ved tre punkter

Når vi kjenner tre punkter i et plan, kan vi finne likningen for planet.

Plan gitt ved tre punkter

Noen ganger har vi bare oppgitt tre punkter i planet.

Vi skal finne likningen for et plan α som går gjennom punktene

Bilde av plan i ett rom

A(4, 0, 0), B(2, 3, 0) og C(0, 0, 2).

I GeoGebra legger vi først inn de tre punktene og bruker knappen for et plan ut i fra tre punkter, se figuren.

For hånd må vi først finne en normalvektor for planet.

Siden AB og AC er parallelle med planet, vil AB×AC være en normalvektor for planet.

AB = 2-4, 3-0, 0-0=-2, 3, 0AC=0-4, 0-0, 2-0=[-4, 0, 2]

Så må vi regne ut vektorproduktet.

-2, 3, 0[-4, 0, 2]AB×AC = -2, 3, 0×[-4, 0, 2]=3·2-0·0, --2·2--4·0, -2·0--4·3=6, 4, 12=2[3, 2, 6]

6, 4, 12 og 3, 2, 6 er begge normalvektorer for planet α. Da bruker vi den korteste til å lage planlikningen.

Vi bruker så at likningen for et plan kan skrives som

a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0

Som punktet x0, y0, z0 kan vi bruke et av de tre punktene A, B eller C. Vi velger her å bruke punktet A(4, 0, 0) og får

a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0 = 0       3x-4+2y-0+6z-0=0                     3x+2y+6z-12=0


Her er det bra å ha for vane å kontrollere at alle de tre punktene passer i planlikningen. Det er ikke mye arbeid og vil avsløre om noe er blitt feil.

For eksempel ser vi at A(4, 0, 0) passer i planlikningen fordi

3·4+2·0+6·0-12=12-12=0.

Læringsressurser

Plan i rommet