1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Linjer i rommetChevronRight
  5. Avstanden fra et punkt til en rett linjeChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Avstanden fra et punkt til en rett linje

Med avstanden fra et punkt A til en rett linje l mener vi den korteste avstanden vi kan få fra A til et punkt på l.

Avstanden fra et punkt til en rett linje, metode 1

Den korteste avstanden fra punktet A til linja l måler vi langs normalen fra A ned på linja, se figuren.

Avstanden mellom et punkt og en rett linje. Illustrasjon.

Vi skal her vise to metoder for å finne denne avstanden. Det er viktig at du lærer deg begge metodene fordi dette er generelle metoder som kan brukes på andre problemstillinger.

Metode 1

Idéen er å sette opp to ulike måter for å finne arealet av en trekant.

Trekant med høyde. Bilde.

Gitt punktene A4, 0, 2, B3, 5, 1 og C0, 7, 2, se figuren.

Avstanden fra C til linjen gjennom A og B er høyden i trekanten utspent av AB og AC.

Vi setter to uttrykk for arealet av trekanten lik hverandre og løser likningen med hensyn på høyden.

Vi bruker den vanlige arealformelen A=g·h2 og formelen for arealet uttrykt med vektorproduktet.

AB·h2=12·AB×AC

Avstand fra et punkt til en rett linje i GeoGebra. Bilde.

Metode 2

Avstand fra et punkt til en linje, metode 2
Avstanden fra et punkt til en rett linje med skalarproduktet. Illustrasjon.

I den andre metoden bruker vi følgende fremgangsmåte:

  • Vi finner et uttrykk for vektoren fra punktet A til et vilkårlig punkt P(x, y, z) på linjen l.
  • Vi finner deretter den verdien av parameteren som gjør at denne vektoren står vinkelrett på l. Vi bruker da at skalarproduktet AP·vl=0, der vl er en
    retningsvektor for linjen l.
  • Lengden av den vektoren vi da får, er avstanden fra A til l.

Eksempel

Gitt en linje på parameterform

x=4-t    y=0+5t    z=2-t

Finn avstanden fra punktet A(0, 7, 2) til et punkt P på linjen. Vi prøver metode 2.

Vi finner først AP.

AP=4-t-0, 0+5t-7, 2-t-2=4-t, 5t-7, -t

AP skal stå vinkelrett på retningsvektoren til linjen, som er vl=-1, 5, -1.


APvlAP·vl = 0          4-t, 5t-7, -t·-1, 5, -1=04-t·-1+5t-7·5+-t·-1=0                       -4+t+25t-35+t=0                                                                      27t=39                                             t=3927=139

Vi setter denne t-verdien inn i uttrykket for AP.

AP = 4-139, 5·139-7, -139=239, 29, -139AP=2392+292+-1392=70292=78·992=783

Avstanden fra punktet A til linja l er 783.

Utregning av lengde i GeoGebra. Bilde.

Læringsressurser

Linjer i rommet