1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Linjer i rommetChevronRight
  5. Vektorfunksjoner og parameterframstillinger for linjer i rommetChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vektorfunksjoner og parameterframstillinger for linjer i rommet

Linjer i rommet kan ikke beskrives med én likning slik som linjer i planet kan. Derfor bruker vi vektorfunksjoner eller parameterfremstillinger. Ellers er mye likt.

Parameterfremstilling for en rett linje

Gitt to punkter A og B. La P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en t slik at

AP=t·AB

Vi har at

OP = OA+OP=OA+t·AB

Når t gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele linjen. Vektorfunksjonen OP beskriver derfor linjen gjennom A og B.

Linjer i rommet i et koordinatsystem. Bilde.
Eksempel

En linje går gjennom punktene A3, 4, 2 og B5, 8, 10.

En vektorfunksjon for linjen er

OP = OA+t·AB=3, 4, 2+t5-3, 8-4, 10-2=3, 4, 2+t2, 4, 8=3+2t, 4+4t, 2+8t

Den tilsvarende parameterfremstillingen for linjen blir

x=3+2t    y=4+4t    z=2+8t

I stedet for å kjenne to punkter på linjen er det nok å kjenne ett punkt Ax0,y0,z0 på linjen og en tilfeldig vektor a,b,c som er parallell med linjen. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linjen.

En vektorfunksjon for linjen blir

OP = OA+AP=x0, y0, z0+t·a, b, c=x0+at, y0+bt, z0+ct

En parameterfremstilling for linjen blir

x=x0+at    y=y0+bt    z=z0+ct

Vi kan ikke lage en likningsfremstilling med én likning av en slik parameterframstilling. (Prøv gjerne!)

Læringsressurser

Linjer i rommet