1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Linjer i rommetChevronRight
  5. Linjer i planetChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Linjer i planet

I R1-kurset så vi at vi kan bruke parameterframstilling i stedet for likningsfremstilling når vi skal framstille en kurve i planet. x- og y- koordinatene er da funksjoner av en tredje størrelse som vi kaller en parameter.

Linjer i planet

Du kan gå til siden Vektorfunksjoner og parameterframstillinger i R1 for å repetere mer og for å se hvordan vi bruker GeoGebra med parameterframstillinger og vektorfunksjoner.

Koordinatsystem med punkter og vektorer. Bilde.

Gitt to punkter A og B . La P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en t slik at

AP=t·AB

Posisjonsvektoren til punktet P kan da skrives som

OP = OA+APOP=OA+t·AB

Vektorfunksjonen OP beskriver linjen gjennom A og B.

Når t gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele linjen.

La A ha koordinatene (1, 4), og la B ha koordinatene (3, 3).

Vektorfunksjonen for linjen gjennom A og B blir

OP = OA+t·AB=1, 4+t3-1, 3-4=1, 4+t2, -1=1+2t, 4-t

Endepunktene til posisjonsvektorene vil beskrive linjen gjennom A og B.

På koordinatform får vi

x=1+2t       y=4-t

Vi kaller dette for en parameterframstilling for linjen.

La

rt=1+2t, 4-t

Linjen gjennom A og B kan nå beskrives enten ved

  • vektorfunksjonen rt=1+2t, 4-t
    eller
  • parameterframstillingen x=1+2ty=4-t

Graf med retningsvektor. Bilde.

I stedet for å kjenne to punkter på linjen, er det nok å kjenne ett punkt A=x0, y0 på linjen og en tilfeldig vektor a, b som er parallell med linjen. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linjen.

Vektorfunksjonen for linjen blir:

OP = OA+APrt=x0, y0+t·a, b=x0+at, y0+bt

På parameterform form får vi

x=x0+aty=y0+bt

Læringsressurser

Linjer i rommet