1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. VektorproduktetChevronRight
  5. VolumberegningChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Volumberegning

Vektorproduktet kan brukes til å regne ut volumer av romfigurer.

Volum av parallellepiped
Bilde av parallellepiped

Romfiguren utspent av vektorene p, q og r kalles et parallellepiped. Sideflatene består av seks parvis kongruente parallellogrammer. Hvis vinklene mellom vektorene p, q og r er rette, vil parallellogrammene være rektangler, og vi har da et rettvinklet parallellepiped. Hvis vektorene p, q og r i tillegg er like lange, har vi en terning.

Volumet av parallellepipedet er grunnflaten multiplisert med høyden.

V=G·h

Grunnflaten er her det parallellogrammet som er utspent av vektorene p og q.

Vi har altså at

G=p×q

Vi ser av figuren at høyden er

h=r·cosα

Vi får at

V=G·hV=p×q·r·cosα

Dette uttrykket kjenner vi igjen som skalarproduktet av vektorene p×q og r.

Vi får

V=G·hV=p×q·r·cosαV=p×q·r

Volum av parallellepiped

Når et parallellepiped er utspent av tre vektorer p, q og r, er volumet gitt ved

V=p×q·r

Vi setter absoluttverditegn rundt skalarproduktet fordi vi kan få negativt skalarprodukt. Husk at skalarproduktet er et tall.

Det er likegyldig hvilken rekkefølge vi har på vektorene p, q og r fordi det er likegyldig hvilken side vi velger som grunnflate.

Læringsressurser

Vektorproduktet