1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. VektorproduktetChevronRight
  5. ArealberegningChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Arealberegning

Vektorproduktet kan brukes til å regne ut arealer av flater i rommet.

Areal av trekanter

I 1T brukte vi arealsetningen til å regne ut arealet av en trekant når vi kjente to sider og vinkelen mellom sidene.

Arealsetningen

Bilde av en trekant

Arealet=12·p·q·sinv

Bilde av en trekant

Eksempel

Regn ut arealet av ABC når AB=4, AC=5 og A=53,13°.

Regne ut arealet av en trekant i CAS GeoGebra. Bilde.

Areal og vektorproduktet


Bilde av en trekant

Fra definisjonen av vektorproduktet har vi at hvis c=a×b, så er c=a·b·sinθ, hvor θ er vinkelen mellom a og b.

Sammenlikner vi dette uttrykket med arealsetningen, ser vi at arealet av trekanten blir halvparten av lengden til c.

Arealet=12·a·b·sinθ=12·c=12·a×b

Ser vi på trekanten i eksempelet ovenfor, får vi da at

Arealet = 12·4, 0, 0×3, 4, 0

Forklar hvorfor

  • a har koordinatene [4, 0, 0], og
  • b har koordinatene [3, 4, 0].

           4, 0, 0           3, 4, 0

4, 0, 0×3, 4, 0 = 0·0-4·0, -4·0-3·0, 4·4-3·0                          = 0, 0, 16

Arealet blir

12·0, 0, 16=12·02+02+162=12·16=8

Vi ser at vi får samme resultat som ovenfor. Dette gjelder helt generelt for vektorer i rommet.

Areal av trekant

La a og b være to vektorer i rommet. Arealet av trekanten utspent av a og b er gitt ved

Arealtrekant=12·a×b

Areal av parallellogram

På tilsvarende måte kan vi også finne arealet av parallellogrammer.

Areal av parallellogram

Arealet av parallellogrammet utspent av a og b er gitt ved

Arealparallellogram=a×b

Parallellogram. Illustrasjon.

Se på figuren og prøv å forklare hvorfor dette må være riktig.

Et rektangel er et parallellogram. Du vet at vi kan regne ut arealet av et rektangel ved å multiplisere lengde og bredde. Hvordan samsvarer dette med resultatet ovenfor?

Læringsressurser

Vektorproduktet