1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. VektorproduktetChevronRight
  5. Vektorproduktet på koordinatformChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vektorproduktet på koordinatform

Nå skal vi komme fram til en formel for vektorproduktet på koordinatform.

Vektorprodukt på koordinatform

Gitt a=x1, y1, z1 og b=x2, y2, z2

Vi vil finne vektorproduktet a×b.

Her bruker vi først at u×v+w=u×v+u×w. (Vi viser ikke denne setningen her.)

Vi får

a×b = x1, y1, z1×x2, y2, z2=x1ex+y1ey+z1ez×x2ex+y2ey+z2ez=x1ex×x2ex+x1ex×y2ey+x1ex×z2ez+ y1ey×x2ex+y1ey×y2ey+y1ey×z2ez+ z1ez×x2ex+z1ez×y2ey+z1ez×z2ez

Så bruker vi definisjonen av vektorproduktet og høyrehåndsregelen.

Kan du forklare hvorfor vi da for eksempel får at

ex×ex=0 ,   ex×ey=1 og ex×ey=ez ?

I utregningen videre har vi kuttet ut fargene på de skalare størrelsene x1, y2. Vi får

a×b = x1x2ex×ex+x1y2ex×ey+x1z2ex×ez+y1x2ey×ex+y1y2ey×ey+y1z2ey×ez+z1x2ez×ex+z1y2ez×ey+z1z2ez×ez=0+x1y2ez+x1z2-ey+y1x2-ez+0+y1z2ex+z1x2ey+z1y2-ex+0=x1y2ez+x1z2-ey+y1x2-ez+y1z2ex+z1x2ey+z1y2-ex=y1z2-z1y2ex+z1x2-x1z2ey+x1y2-y1x2ez=y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2

I siste linje har vi skrevet resultatet på koordinatform. Ikke noe problem å huske dette, eller … ?

Kanskje det er lettere å huske dersom vi bruker noe vi kaller determinanter?

Vi skriver

a×b=exeyezx1y1z1x2y2z2 

der høyre side er en determinant.

Determinanter regnes ut etter et bestemt mønster. På neste linje har vi gruppert de størrelsene som hører sammen når vi skal regne ut determinanten ovenfor.

exeyezx1x2y1z1y2z2 ,  exeyezx1x2y1y2z1z2 og exeyezx1y1x2y2z1z2

Vi får

a×b = exeyezx1y1z1x2y2z2 =y1z1y2z2ex-x1z1x2z2ey+x1y1x2y2ez=y1z2-z1y2ex-x1z2-x2z1ey+x1y2-y1x2ez=y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2

Skjønner du systemet, og legger du merke til at vi kom fram til det samme som i den første utregningen? Merk spesielt rekkefølgen på fortegnene: +ex, -ey, +ez

Vi prøver med et eksempel.

Eksempel

a = 2, 3, 4,   b=5, 6, 7a×b=exeyez234567 =3467ex-2457ey+2356ez =3·7-6·4ex-2·7-5·4ey+2·6-5·3ez =-3, 6, -3

Det kan være lurt å gjøre det til en vane å bruke skalarprodukt til å kontrollere at den vektoren vi finner, er vinkelrett på de to vektorene vi startet med. Det er jo fort gjort, og det vil avsløre om vi eventuelt har regnet feil.

2, 3, 4·-3, 6, -3 = -6+18-12=06, 5, 7·-3, 6, -3=-15+36-21=0

Med litt trening har du «knekt koden», og du regner ut vektorproduktet av vektorene 2, 3, 4 og  5, 6, 7 enkelt og greit på følgende måte ved først å plassere vektorene under hverandre, slik at det skal bli lettere å sette opp regnestykket:

2, 3, 45, 6, 7

2, 3, 4×5, 6, 7=3·7-6·4, 2·7-5·4, 2·6-5·3=-3, 6, -3

I CAS i GeoGebra får du samme resultat. Hurtigtasten for vektorproduktet er "alt + stjerne" eller "shift + alt + 8". Symbolet for vektorproduktet er et hjul, se bildet nedenfor. Kommandoen "Vektorprodukt()" kan også brukes.

Regne ut vektorprodukt i CAS GeoGebra. Bilde.

Læringsressurser

Vektorproduktet