1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. VektorproduktetChevronRight
  5. VektorproduktChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vektorprodukt

Vi innfører nå en ny operasjon på to vektorer i rommet som vi kaller for vektorproduktet.

Vektorprodukt og høyrehåndsregel

Som symbol for operasjonen bruker vi et kryss, ×. Derfor kaller vi også vektorproduktet for kryssproduktet.

Vektorproduktet er, på samme måte som skalarproduktet, en operasjon på to vektorer. Mens skalarproduktet av to vektorer gir et tall (en skalar), gir vektorproduktet en ny vektor. Den nye vektoren står vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene, og lengden til den nye vektoren er lik produktet av lengdene til de opprinnelige vektorene multiplisert med sinus til vinkelen mellom dem.

Ved å definere vektorproduktet på denne måten, får vi et effektivt redskap til å regne ut arealet og volumet til legemer i rommet.

Definisjon

Bilde av en vinkel

La a og b være to vektorer. La c være
vektorproduktet av a og b. Vi skriver

c=a×b

La vinkelen mellom a og b være θ (gresk bokstav, "theta"). Da er

c=a·b·sinθ

c står vinkelrett på både a og b.
a, b og c danner et høyrehåndssystem (Se nedenfor).

Et høyrehåndssystem

Du lurer sikkert på hva vi mener med «et høyrehåndssystem». Du så ovenfor at c står vinkelrett på både a og b. Men hvordan vet vi at den peker «oppover» (se figuren ovenfor) og ikke «nedover»? For å avgjøre retningen til c, kan vi bruke høyre hånd.

Bilde av Høyrehånsregelen

La pekefingeren peke i samme retning som den første vektoren og langfingeren i samme retning som den andre. Tommelen peker da i samme retning som kryssproduktet.

Når du bruker høyrehåndsregelen, vil du se at hvis a×b=c, så vil b×a=-c.

«Faktorenes orden» er altså ikke likegyldig når vi arbeider med vektorprodukt.

Bilde av Høyrehåndsregelen

Læringsressurser

Vektorproduktet