1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Vektorer på koordinatformChevronRight
  5. Vektorer på koordinatform ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vektorer på koordinatform

Når vi skal teikne vektorar i eit koordinatsystem, har vi bruk for vektorkoordinatar.

Det er ikke særlig effektivt å regne med vektorer på den måten vi har gjort hittil. For eksempel har vi måttet parallellforskyve vektorer for å finne sum og differanse.

Det hadde vært mye enklere hvis vektorer kunne beskrives bare med tall på en slik måte at vi kunne regne oss fram til sum, differanse og skalarprodukt.

Det oppnår vi ved å plassere vektorene i et koordinatsystem.

Bilde av vektor i et koordinatsystem. Illustrasjon.

I koordinatsystemet til høyre har vi plassert to vektorer med utgangspunkt i origo. Vektoren

ex går fra origo til punktet (1, 0) og ey går fra origo til punktet (0, 1).

Disse vektorene har lengde 1, er parallelle med henholdsvis x-aksen og y-aksen og står normalt på hverandre. Vi kaller dem enhetsvektorer. (Vi plasserer vanligvis enhetsvektorene med utgangspunkt i origo, men de kunne like gjerne vært plassert et annet sted i
koordinatsystemet.)(5, 3)

I koordinatsystemet har vi også tegnet a.
Vi ser at vi kan skrive a som en sum av de to vektorene ax og ay.

a=ax+ay=5·ex+3·ey

Alle vektorer kan på tilsvarende måte skrives som en kombinasjon av enhetsvektorene.

Når vi skal tegne a, kan vi starte hvor som helst i koordinatsystemet og så gå 5 enheter mot høyre og 3 enheter oppover for å finne vektorens endepunkt. Når tallene 5 og 3 er kjent, er vektoren bestemt. Vi innfører en forenklet skrivemåte for a.

a=5, 3

Denne skrivemåten likner på måten punkt angis på, men det er en viktig forskjell. For vektorer bruker vi klammeparenteser mens vi for punkt bruker vanlige parenteser.

(5, 3) kalles punktkoordinater og angir punktet som har x-koordinat lik 5 og y-koordinat lik 3.

5, 3 kalles vektorkoordinater og betyr det samme som vektoren 5·ex+3·ey.

Bilde av vektor i et koordinatsystem. Illustrasjon.
Eksempel

b = -2·ex+-3·eyb=-2,-3

Når vi skal tegne b, kan vi starte hvor som helst i koordinatsystemet og så gå 2 enheter mot venstre og 3 enheter nedover for å finne vektorens endepunkt.

Definisjon

Alle vektorer kan skrives som en vektorsum av enhetsvektorer. Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinater

x, y=x·ex+y·ey

Vi bruker klammeparenteser for å betegne en vektor mens vi bruker vanlige parenteser for å betegne et punkt.

I GeoGebra brukes ikke hakeparenteser. Her kan (5, 3) angi både vektor og punkt. Bruker du stor bokstav og skriver A= (5, 3), får du punktet . Bruker du liten bokstav og skriver v=(5, 3), får du vektoren [5, 3] med start i origo. GeoGebra bruker også skrivemåten 53 for vektoren.

Læringsressurser

Vektorer på koordinatform