1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Vektorer på koordinatformChevronRight
  5. Tredimensjonale vektorkoordinater, definisjon og regnereglerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Tredimensjonale vektorkoordinater, definisjon og regneregler

Forskjellen på en vektor i planet og en vektor i rommet er én ekstra koordinat for romvektoren.

Tredimensjonale koordinatsystem
Bilde av vektorer

Alle vektorer i rommet kan på tilsvarende måte som i planet, skrives som en vektorsum av enhetsvektorer.

Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinater også i rommet.

OP = [x, y, z]= x·ex+y·ey+z·ez

Det kan på tilsvarende måte som i planet vises at tilsvarende regneregler gjelder for vektorer i rommet.

Addisjon av vektorer på koordinatform

[x1, y1, z1]+[x2, y2, z2]=[x1+x2, y1+y2, z1+z2]

Subtraksjon av vektorer på koordinatform

[x1, y1, z1]-[x2, y2, z2]=[x1-x2, y1-y2, z1-z2]

Multiplikasjon av vektor med tall

t·[x, y, z]=[t·x, t·y, t·z]

Vektorer mellom punkter

Gitt punktene A(x1, y1, z1) og B(x2, y2, z2).

Da er

AB=[x2-x1, y2-y1, z2-z1]

Posisjonsvektoren

Bilde av vektorer

Vi ser spesielt at vektoren fra origo
O(0, 0, 0) til et punkt P(x, y, z) er

OP=[x, y, z].


OP kalles for posisjonsvektoren til punktet P.

Legg merke til at punktet og posisjonsvektoren til punktet har «samme» koordinater, men med en viktig forskjell. Punktet har punktkoordinater, og vi bruker vanlige parenteser.

Vektoren har vektorkoordinater, og vi bruker
hakeparenteser.

Skalarproduktet av vektorer gitt på koordinatform

[x1, y1, z1]·[x2, y2, z2]=x1·x2+y1·y2+z1·z2

Eksempel

[2, 3, 4]·[4, 5, 6]=2·4+3·5+4·6=47

Med CAS i GeoGebra får vi

Regne ut skalarproduktet mellom vektorer i CAS GeoGebra. Bilde.


Lengden til en vektor gitt på koordinatform

Lengden til vektoren x, y, z er gitt ved

[x, y, z]=x2+y2+z2

Eksempel

[3, 4, 5]=32+42+52=9+16+25=50=25·2=52

Regne lengden til en vektor i CAS GeoGebra. Bilde.


Vinkelen mellom vektorer gitt på koordinatform

Vinkel mellom vektorer i et koordinatsystem. Bilde.

Gitt vektorene

1, 2, 3 og -3, -1, 1

La α være vinkelen mellom vektorene.

Definisjonen på skalarproduktet gir da

1, 2, 3·-3, -1, 1 = 1, 2, 3·-3, -1, 1·cosα                 cosα=1, 2, 3·-3, -1, 11, 2, 3·-3, -1, 1                 cosα=-214·11                       α=99,3°

Vinkel mellom vektorer i CAS GeoGebra. Bilde.

Avstanden mellom punkter i rommet

Gitt punktene A(x1, y1, z1) og B(x2, y2, z2)

Da er

AB=[x2-x1, y2-y1, z2-z1]

Avstanden, d, mellom A og B er

d=AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Til slutt skal vi ta med de setningene vi bruker når vi skal avgjøre om to vektorer eller linjer står ortogonalt på hverandre, eller om de er parallelle. Vi forutsetter at alle vektorene har lengde forskjellig fra null.

Ortogonalitet og parallellitet

aba·b=0aba=t·b      hvor t

Bilde av farget lys på svart bakgrunn
Farget lys på svart bakgrunn. Ortogonalitet og parallellitet?

Læringsressurser

Vektorer på koordinatform