1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. VektorerChevronRight
  5. Viktige anvendelser av skalarproduktetChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Viktige anvendelser av skalarproduktet

Nedenfor kommer en del viktige regler og sammenhenger som gjelder skalarproduktet av to vektorer. Stikkordene er ortogonale vektorer, regneregler og lengden av en vektor.

Regneregler for skalarproduktet

Ortogonale vektorer

Når to vektorer står normalt (vinkelrett) på hverandre, er vinkelen mellom vektorene 90°. Siden cos90°=0 , vil skalarproduktet av vektorene være lik null:

a·b=a·b·cos90°a·b=a·b·0a·b=0

Motsatt må det også være slik at hvis skalarproduktet er lik null, og begge vektorer er forskjellige fra nullvektor, må cosinus til vinkelen mellom dem være null, og vektorene står normalt på hverandre.

To vektorer som står normalt på hverandre, kalles ortogonale vektorer. Det matematiske symbolet er .

Oppsummering

aba·b=0

Regneregler for skalarproduktet

Det kan vises at regnereglene nedenfor gjelder for skalarproduktet.

a·b=b·aa·b+c=a·b+a·ca+b·c+d=a·c+a·d+b·c+b·dsa·tb=s·ta·b

og

a+b2=a2+2a·b+b2a-b2=a2-2a·b+b2a+b·a-b=a2-b2

Lengden av en vektor

Vi har sett at skalarproduktet eller prikkproduktet av to vektorer er definert som

a·b=a·b·cosα

Når en vektor «prikkes med seg selv», får vi en spesiell situasjon. Vinkelen α er da 0°. Som du ser av enhetssirkelen ovenfor, er cos0°=1. Vi får derfor

a·a=a·a·cos0°   a2=a2·1    a2=a2

Vi snur likningen og får et uttrykk for lengden av en vektor.

a=a2

Legg merke til skrivemåten a2 for a·a.

Læringsressurser

Vektorer

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter