Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. Sannsynlighet og kombinatorikkChevronRight
  4. Tre typer utvalgChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Tre typer utvalg

De tre aktuelle typen utvalg vi skal arbeide med, er ordnet utvalg med eller uten tilbakelegging og uordnet utvalg uten tilbakelegging.

Nummer 1

1. Ordnet utvalg med tilbakelegging

Tenk deg at du skal fylle ut en tippekupong med tolv fotballkamper helt tilfeldig.

Tippekupong

Du legger tre lapper i en hatt. På den ene lappen står det H for hjemmeseier, på den andre står det U for uavgjort, og på den tredje lappen står det B for borteseier.

Den første lappen du trekker, skal angi resultatet i kamp nummer 1. Lappen må så legges tilbake i hatten før resultatet i kamp nummer 2 trekkes. Vi har derfor et utvalg med tilbakelegging. Det betyr også noe hvilken rekkefølge lappene trekkes i. Det er ikke likegyldig om du først trekker H og så U, eller om du først trekker U og så H. Det vil si at utvalget er ordnet.

Vi har da et ordnet utvalg med tilbakelegging. Etter produktregelen for kombinasjoner blir antall kombinasjonsmuligheter da lik 3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3=312

Antall kombinasjonsmuligheter av et ordnet utvalg med tilbakelegging av r elementer fra n elementer er gitt ved

nr.

2. Ordnet utvalg uten tilbakelegging

Nummer 2

I en klasse med 30 elever skal vi velge et styre bestående av leder, nestleder og sekretær. Vi velger først leder. Da har vi 30 mulige utfall. Så velger vi nestleder. Da er det 29 elever igjen å velge mellom siden lederen ikke også kan være nestleder. For hver av de 30 mulige lederne kan vi få 29 mulige nestledere, altså 30·29 kombinasjonsmuligheter. Til slutt velger vi sekretær. Da er det 28 elever igjen å velge mellom (28 lapper igjen i hatten).

Siden rekkefølgen betyr noe, og en person ikke kan inneha flere verv, har vi altså et ordnet utvalg uten tilbakelegging.

Produktregelen sier at antall mulige styresammensetninger blir  30·29·28. Dette kan også skrives som

30·29·28=30·30-1·30-2=30·30-1·30-3+1

Vi tenker nå at vi skal velge et styre på r antall elever ut fra en gruppe n på elever. Kriteriene er de samme som ovenfor. Antall mulige styresammensetninger blir da

n·n-1·n-2· ...·n-r+1

Formelen blir mer «brukervennlig» hvis vi multipliserer med  n-r!  i teller og nevner. Da får vi nemlig n-fakultet i teller.

n·n-1·n-2· ...·n-r+1=n·n-1·n-2· ... ·n-r+1)·n-r!1·n-r!=n!n-r!

Antall kombinasjonsmuligheter i disse situasjonene betegnes med nPr hvor P står for permutasjoner.

Antall mulige kombinasjoner for et ordnet utvalg uten tilbakelegging av r elementer fra n elementer er gitt ved

nPr=n·n-1·n-2· ...·n-r+1=n!n-r!

I GeoGebra er kommandoen

nPr[<Tall>,<Tall>]

hvor det første tallet er n og det andre tallet r.

Formelen må også gjelde for det tilfelle at  r=n . Da er  (n-r)!=0!  Dette krever en definisjon av 0!. Ved å definere  0!=1, blir formelen rett også for det tilfelle at  r=n.

Når  r=n, er

nPr=n!n-r!=n!n-n!=n!0!=n!1=n!

Dette vil for eksempel gjelde dersom vi skal finne ut hvor mange rekkefølger elever i en klasse kan stille seg opp i.

3. Uordnet utvalg uten tilbakelegging

Nummer 3

I en klasse med 30 elever skal vi nå bare velge et styre bestående av tre elever. Rekkefølgen på de som blir trukket ut betyr ikke noe. En person kan ikke inneha flere verv. Vi har da en situasjon med et uordnet utvalg uten tilbakelegging.

Dersom dette hadde vært et ordnet utvalg uten tilbakelegging, slik som i forrige eksempel, ville antall kombinasjoner vært gitt ved

nPr=n·n-1·n-2· ...·n-r+1=30·29·28

I dette tilfellet, når rekkefølgen ikke har noen betydning, faller det bort noen kombinasjoner. Når vi trekker ut tre elever, kan disse tre elevene trekkes ut (kombineres) på  3·2·1=3!=6  ulike måter. Disse seks kombinasjonene inneholder de samme tre elevene. Når rekkefølgen ikke har noe å si, er disse seks kombinasjonene like, og vi kan bare ha med ett av dem i opptellingen. Vi får altså et antall utvalg som er seks ganger for stort når vi bruker formelen for nPr, så vi må dele formelen på 6.

Vi får derfor

30·29·286=30·29·283·2·1=30·29·283!

kombinasjonsmuligheter i dette tilfellet.

Generelt får vi at antall mulige kombinasjoner for et uordnet utvalg uten tilbakelegging av elementer fra elementer er gitt med formelen

n·n-1·n-2· ... ·n-r+1r!=n!r!n-r!

Det tallet som denne formelen gir, kalles for binomialkoeffisienten av n og r . Skrivemåten er nr , som leses «n over r». Binomialkoeffisienten betegnes også med nCr hvor C står for kombinasjoner.

I Lotto er det 347 mulige måter å fylle ut en lottokupong på.

I lagspill er det 2011 mulige lagoppstillinger for lag med 11 spillere av en spillerstall på 20.

Vi har nå funnet en formel for binomialkoeffisienten som vi kan bruke til å regne «for hånd». Dette er nyttig på del 1 av eksamen.

Antall mulige kombinasjoner for et uordnet utvalg uten tilbakelegging av r elementer fra n elementer er gitt med formelen

nr=nCr=n!r!n-r!

I GeoGebra kan vi bruke kommandoen nCr[<Tall>,<Tall>] hvor det første tallet er n og det andre tallet r .

Læringsressurser

Sannsynlighet og kombinatorikk