1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planetChevronRight
  5. Skjæring mellom to parametriske kurver - to båters reiseruterChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Skjæring mellom to parametriske kurver - to båters reiseruter

To rette linjer i to dimensjoner som ikke er parallelle, vil alltid skjære hverandre i ett punkt. Men det betyr ikke at to båter som følger hver sin av de to linjene, kolliderer.

To båter starter samtidig, og båtenes reiseruter de første 5 timene er beskrevet med parameterfremstillingene m og n gitt ved

m:x=2+3ty=6-4t ,  n:x=2sy=-3+2s

Vi skal se at det er viktig at de to linjene har hver sin parameter (t og s).

Kryssende linjer i koordinatsystem. Bilde.

Hvordan kan vi ved regning finne skjæringspunktet mellom linjene som beskriver båtenes reiseruter?

I skjæringspunktet er både y-koordinatene og x-koordinatene like store. Vi setter uttrykkene for x-koordinatene lik hverandre, og gjør det samme med uttrykkene for y-koordinatene. Da får vi to likninger med to ukjente.

2+3t=2s                             (1)6-4t=-3+2s                    (2)

Den første likningen gir:

2+3t=2s s=2+3t2

Innsatt i likning 2 får vi:

6-4t=-3+2·2+3t2  6-4t=-3+2+3t  -7t=-7  t=1

Da har vi verdien til parameteren t i skjæringspunktet. Innsatt i parameterframstillingen for linja m får vi

x=2+3·1=5y=6-4·1=2

Skjæringspunktet er (5, 2).

To spørsmål du kan gruble på:

  1. Hvorfor kan vi ikke sette verdien t=1 inn i parameterframstillingen for linja n?
  2. Hvorfor fant vi ikke hvilken verdi parameteren s hadde i skjæringspunktet?

I GeoGebra kan du finne skjæringspunktet mellom kurvene ved kommandoen «Skjæring[<Objekt>,<Objekt>]» og du skriver «Skjæring[m,n]».

Vil båtene kollidere?

Båter på kollisjonskurs. Foto

Vi ser at båtenes reiseruter krysser hverandre, og de vil da kollidere hvis de er på dette stedet til samme tid.

Parametrene s og t lar vi stå for antall timer siden båtene startet. Vi forutsatte at båtene startet samtidig og dermed at tidsparametrene også startet samtidig for begge båtene.

I skjæringspunktet er x-koordinaten lik 5.

Båt med reiserute m vil nå dette punktet når 2+3t=5  t=1. Det vil si etter 1 time.

Båt med reiserute n vil nå dette punktet når 2s=5  s=2,5. Det vil si etter 2,5 timer.

Det betyr at båtene ikke kolliderer.

Du kan lage en animasjon av båtenes reiseruter ved å innføre glidere for t og s. La begge glidere variere mellom 0 og 5.

Definer så punktene A=2+3t, 6-4t og B=2s, -3+2s.

Sett på animasjon på gliderne og sporing på punktene. Du vil da se at båtene ikke kolliderer!

Diagrammet nedenfor viser hvor langt båtene har kommet etter 2,5 timer.

Grafer med glidere. Bilde.

Ved vektorfunksjoner i CAS i GeoGebra

Utregning i GeoGebra vektorfunksjoner. Bilde.

Vi definerer først båtenes reiseruter med vektorfunksjoner i CAS. Se linje 1 og 2 i CAS-utklippet.

Vi kan finne linjenes skjæringspunkt ved å løse likningen i linje 3. Vi får at båten som følger linje m ankommer skjæringspunktet etter 1 time, og båten som følger linje n ankommer skjæringspunktet etter 2,5 timer.

Linje 4 viser at dette skjæringspunktet er (5, 2).

Læringsressurser

Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet