1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planetChevronRight
  5. Fart og akselerasjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Fart og akselerasjon

Vektorfunksjoner er svært nyttige til å beskrive bevegelse i fysikken.

Vektorer i kurve

Den blå kurven til høyre viser bevegelsen til et legeme i forhold til et koordinatsystem. La posisjonsvektoren rA angi posisjonen til legemet etter tiden t , og rB angi posisjonen etter tiden t+Δt.

Vi definerer gjennomsnittsfart som forflytning dividert med tid, også når bevegelsen ikke følger en rett linje.

I vårt tilfelle er forflytningen en vektor; Δr=rB-rA og tiden som forflytningen har tatt er t+Δt-t=Δt .

Gjennomsnittsfarten fra A til B defineres da som v¯=ΔrΔt, hvor streken over vektortegnet for v markerer at det er gjennomsnittsfarten.

Momentanfarten i punktet A defineres som grenseverdien gjennomsnittsfarten nærmer seg mot når Δt går mot null. Altså, den deriverte av r.

v=r'=limΔt0ΔrΔt

Når Δt går mot null, vil punktet B flytte seg langs kurven mot punktet A. Da vil Δr nærme seg og bli en tangent til kurven i punktet A. Farten (momentanfarten) i punktet A har retning som en tangent til banen som legemet følger.

Definisjonen av den deriverte og vektorer på koordinatform samt regneregler for vektorer på koordinatform gir følgende

v = r'=limΔx0ΔrΔt=limΔx0rB-rAΔt=limΔx0xt+Δt, yt+Δt-xt, ytΔt=limΔx0xt+Δt-xtΔt, yt+Δt-ytΔt=limΔx0xt+Δt-xtΔt, limΔx0yt+Δt-ytΔt=x't, y't

Vi kan gjøre tilsvarende resonnementer når det gjelder akselerasjon, og samlet får vi da følgende regler for fart og akselerasjon til legemer hvis bevegelse kan beskrives med en vektorfunksjon:

La rt=xt, yt være posisjonsvektoren til et legeme som beveger seg langs en kurve.

Farten til legemet i et punkt er gitt ved vektoren vt=r'=x't, y't. Farten har retning som en tangent til kurven i punktet. Lengden til fartsvektoren kalles for banefarten.

Akselerasjonen til partikkelen i et punkt er gitt ved vektoren at=v't=r''t=x''t, y''t

Eksempel

Reiseruten til en båt er gitt ved

r=t+1, 2t-2

Vi deriverer x- og y -koordinatene hver for seg, og får fartsvektoren

v=r'=1, 2

Denne vektoren viser hvor fort x- og y -verdiene endrer seg når t endrer seg. Når t øker med én enhet, øker x med én enhet og y med to enheter.

Banefarten er lengden til fartsvektoren v=v=1, 2=12+22=5

Vi fortsetter med å derivere fartsvektoren og finner akselerasjonsvektoren som viser hvor fort farten endrer seg i x- og y -retning.

Akselerasjonsvektoren blir a=v'=1, 2'=0, 0 , og akselerasjonen er lengden av akselerasjonsvektoren a=a=0, 0=0. Dette betyr at båtens fart er konstant.

Eksempel

Vi ser på kastebanen til en gjenstand som skytes skrått opp i luften. Posisjonen til gjenstanden er gitt ved vektorfunksjonen

r(t)=[2t, 50t-5t2] hvor t går fra 0 til 10 sekunder

Vi skriver inn parameterfremstillingen i algebrafeltet i GeoGebra ved kommandoen «Kurve(<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>)». Her blir det

"Kurve(2t, 50t-5t2, t, 0, 10)"

Da kan vi derivere posisjonsvektoren ved kommandoen «Derivert(<Funksjon>)», skrive
«Derivert( r )» og finne fartsvektoren. For akselerasjonsvektoren kan du bruke kommandoen «Derivert(<Funksjon>,<Tall> )» hvor «Tall» settes til 2.

Kurve til kastebanen. Foto

Vi ønsker å finne fart og akselerasjon etter 8 sekunder.

Vi skriver posisjonsvektoren, fartsvektoren og akselerasjonsvektoren etter 8 sekunder, henholdsvis r8, r'8 og r''8 på skrivelinjen.
GeoGebra viser da punktene A, B og C som er endepunktene til r8, r'8 og r''8 med start i origo.

Vi gir så posisjonsvektoren, fartsvektoren og akselerasjonsvektoren etter 8 sekunder navn og skriver inn henholdsvis p8=r8, v8=r'8 og a8=r''8.
GeoGebra viser da vektorene p8=r8, v8=r'8 og a8=r''8 som vektorer med start i origo.

For å plassere fartsvektoren og akselerasjonsvektoren i riktig posisjon etter 8 sekunder, bruker vi kommandoen «Vektor(<Startpunkt>,<Sluttpunkt> )» og skriver henholdsvis
«v_8=Vektor(r(8), r(8)+r'(8))» og «a_8=Vektor(r(8), r(8)+r''(8))».
GeoGebra viser da vektorene fartsvektoren og akselerasjonsvektoren med start i punkt A.

«Tall a» viser farten etter 8 sekunder. Vi bruker kommandoen «Lengde(<Objekt>)» og skriver «Lengde( r’(8) )» Tall b viser tilsvarende akselerasjonen.

Etter 8 sekunder er farten 30,1 m/s og akselerasjonen er 10 m/s2. Fartsvektoren viser retningen til farten, tangent til kurven. Akselerasjonen er lik tyngdens akselerasjon uten horisontal komponent.

Læringsressurser

Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet