1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planetChevronRight
  5. Vektorfunksjoner og parameterframstillingerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vektorfunksjoner og parameterframstillinger

I en vektorfunksjon eller en parameterframstilling har vi separate formler for x- og y-koordinatene til punktene som ligger på grafen.

Koordinatsystem med punkter og vektorer. Bilde.

Gitt to punkter A og B . La P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en t slik at

AP=t·AB

Posisjonsvektoren til punktet P kan da skrives som

OP = OA+APOP=OA+t·AB

Vektorfunksjonen OP beskriver linjen gjennom A og B.

Når t gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele linjen.

La A ha koordinatene (1, 4), og la B ha koordinatene (3, 3).

Vektorfunksjonen for linjen gjennom A og B blir

OP = OA+t·AB=1, 4+t3-1, 3-4=1, 4+t2, -1=1+2t, 4-t

Endepunktene til posisjonsvektorene vil beskrive linjen gjennom A og B.

På koordinatform får vi

x=1+2t       y=4-t

Vi kaller dette for en parameterframstilling for linjen.

La

rt=1+2t, 4-t

Linjen gjennom A og B kan nå beskrives enten ved

  • vektorfunksjonen rt=1+2t, 4-t
    eller
  • parameterframstillingen x=1+2ty=4-t

Hvordan framstiller vi kurven?

Ved papir og blyant

Vi lager en tabell som viser x- og y-koordinatene for utvalgte verdier av t .

x=1+2t         y=4-t

Vi kan så plotte punktene, x- og y- koordinatene, i et koordinatsystem, og trekke en kurve gjennom punktene. I dette tilfelle blir kurven en rett linje.

t

0

1

2

3

4

5

x

1

3

5

7

9

11

y 4 3 2 1 0 -1

Digitalt

På skrivelinjen i GeoGebra kan du bruke kommandoen «Kurve[<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>]» og for eksempel skrive «Kurve[1+2t, 4-t, t, 0, 5]» for å få plottet grafen for t-verdier mellom 0 og 5.

I CAS kan du bruke kommandoen «r(t):=Vektor[<Punkt>]» og skrive «r(t):=Vektor[ (1+2t,4-t) ]»

Legg merke til skrivemåter og parentessetting i GeoGebra

Skjermbilde av geometrisk kurve i GeoGebra. Bilde.

Generell kurve

Graf med retningsvektor. Bilde.

I stedet for å kjenne to punkter på linjen, er det nok å kjenne ett punkt A=x0, y0 på linjen og en tilfeldig vektor a, b som er parallell med linjen. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linjen.

Vektorfunksjonen for linjen blir:

OP = OA+APrt=x0, y0+t·a, b=x0+at, y0+bt

På parameterform form får vi

x=x0+aty=y0+bt

En linje gjennom punktet A=x0, y0 med retningsvektor a, b, kan beskrives ved

  • vektorfunksjonen rt=x0+at, y0+bt
    eller
  • parameterframstillingen x=x0+aty=y0+bt

Legg merke til hvor enkelt du kan veksle mellom parameterform og vektorfunksjon!!!

Nyttig å vite!!
Legg også merke til at linjene bestemt med parameterframstillingene

x=x1+aty=y1+bt og x=x2-bty=y2+at

står normalt på hverandre siden retningsvektorene til linjene gjør det.

a, b-b, a

siden

[a, b]·[-b, a]=a·-b+b·a=0

Læringsressurser

Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet