Vi bruker gjerne funksjoner med navn $$K$$, $$I$$ og $$O$$ som modeller for å beskrive kostnader, inntekter og overskudd.

Eksempel

Ved en bedrift blir det produsert en vare. Funksjonene $$K$$ og $$I$$ gitt ved

$$\begin{array}{llll}K\left(x\right)=3x^2+150x+11 000& & & D_K=[0, 150]\\ & & & \\ I\left(x\right)=800x-2x^2& & & D_I=[0, 150]\end{array}$$

kan brukes som modeller for inntekter og kostnader ved produksjon og salg av denne varen. $$I\left(x\right)$$og $$K\left(x\right)$$ er henholdsvis inntekter og kostnader gitt i kroner ved produksjon og salg av $$x$$ enheter av varen per uke.

Vi ønsker å finne ut hvor mange enheter som må produseres for å få størst mulig overskudd. Vi ønsker også å vite hva overskuddet da blir.

Overskudd er inntekter minus kostnader

$$\begin{array}{rcl}O\left(x\right)& = & I\left(x\right)-K\left(x\right)\\ & & \\ & =& 800x-2x^2-(3x^2+150x+11 000)\\ & & \\ & =& -5x^2+650x-11 000\end{array}$$

For å beregne når overskuddet blir størst mulig, finner vi ekstremalpunktet til overskuddsfunksjonen.

Overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon. Andregradsleddet er negativt. Grafen til $$O$$ har da et toppunkt. Den deriverte vil være lik null i dette toppunktet.

Vi deriverer og får

$$\begin{array}{rcl}O\text{'}\left(x\right)& =& -10x-650\end{array}$$

Vi setter den deriverte funksjonen lik null

$$\begin{array}{rcl}O\text{'}\left(x\right)& = & 0 \\ & & \\ -10x+650& =& 0\\ & & \\ x& =& 65\end{array}$$

En produksjon på 65 treningsapparater gir størst mulig overskudd:

$$O\left(65\right)=-5·{65}^2+650·65-11 000=10 125$$

Det maksimale overskuddet blir på 10 125 kroner per uke.

Vi tegner grafen til overskuddsfunksjonen $$O$$ i samme koordinatsystem som grafene til $$K$$ og $$I$$.

Toppunktet på grafen til $$O$$ viser det maksimalt overskudd som vi fant ved regning.

Legg også merke til at skjæringspunktene mellom grafene til $$K$$ og $$I$$ viser når overskuddet er null.